利用直线知识巧解最值问题孙道斌直线知识是解析几何的基础知识,灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点,对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。一、利用直线的斜率性质直线斜率在上是单调递增的,在上也是单调递增的。例1.已知实数x、y满足,求的最大值与最小值。解:表示过点A(0,-1)和圆上的动点(x,y)的直线的斜率。如下图,当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为,即,则,解得因此,二、利用直线的截距例2.已知A(2,0),B(-1,2),C(―2,―3),连接A、B、C三点得封闭区域P(含边界),当动点Q(x,y)在区域P内移动时,求的取值范围。解:设,则当动点Q(x,y)在区域P内变化时,直线在y轴上的截距-b也随之变化。由下图知,当直线经过A、B两点时,-b分别取最小值和最大值,即b分别取最大值和最小值。把A、B两点坐标代入,得故2x-y的取值范围是[-4,4]三、利用线段的定比分点例3.求函数的值域。解:原函数可化为于是,原题等价于:当动点P(0,y)分以A(0,)与B(0,4)两点为端点的线段AB的定比时,求y的取值范围。当时,点P与点A重合,这时当时,,点P在线段AB(或BA)的延长线上,所以或综上所述,所求函数的值域是四、利用点到直线的距离例4.已知,求的最小值。解:把看作是点(x,y)到点(1,0)的距离(如下图所示)。因此,它的最小值就是点(1,0)到直线的距离,即,即。五、利用直线与曲线的位置关系例5.求证:证明:设,则,即点(cosθ,sinθ)既在直线上,又在圆上,即直线与圆有公共点,则,解得故命题得证。