指数函数——分数指数幂三维目标一、知识与技能1．了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；2．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义；3．理解n次方根与n次根式的概念，会进行根式与分数指数幂的相互转化；4．掌握有理指数幂的运算性质，灵活运用乘法公式进行有理指数幂的运算与化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．二、过程与方法1．通过师生、同学之间的互相交流，使学生进一步体会共同学习的乐趣．2．通过n次方根概念的探索与活动，明确数学概念的严谨性和科学性，学会做具备严谨科学态度的人．3．通过对问题的探究过程，培养学生的观察能力和理性思维能力．三、情感、态度与价值观1．通过n次方根概念的学习，体会类比的数学思想方法在数学学习中的作用，感受数学概念的整体性、严密性，学会怎样不断完善概念，培养严谨的科学精神．2．在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对n次方根的性质的理解，增强学生的交流能力，不断培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．二．教学重点分数指数幂的概念及其运算性质的应用．三．教学难点1．对根式意义的理解；2．化简、求值问题中的指数运算技巧、整体代换思想的运用．四．教学过程第一课时问题情境细菌的繁殖在理想状态下约每20min一代，就是每20min由1个分裂成2个．问题1你能写出一个细菌分裂后的个数y与细菌分裂次数x之间的函数关系式吗？y＝2x，xN．问题2如果一个小朋友早上8点半离开家去幼儿园之前洗了手，而且在幼儿园里直到11点半午饭前才由老师领着去洗手．那么在这3个小时里，这位小朋友手上一个细菌会繁殖成多少个？y＝29＝512．复习回顾整数指数幂的运算性质：当a≠0，b≠0，s、tZ时，①as·at＝ast，as÷at＝ast；②(as)t＝ast；③(ab)t＝atbt，()t＝．特别注意：x0＝1(x≠0)．数学理论、数学运用1．根式在初中已经接触过平方根、立方根的概念：1如果x2＝a，那么称x为a的平方根，一个正数的平方根有2个，且互为相反数；如果x3＝a，那么称x为a的立方根，一个实数的立方根只有一个；如此类推，如果一个实数x满足xn＝a（n＞1，nN*），那么称x为a的n次实数方根．当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，的次实数方根只有一个，用记为x＝表示．例如：，，．当n为偶数时，正数a的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示，可以合并写成±（a＞0）例如：，，16的4次方根可以写成．负数没有偶次方根．而0的n次实数方根为0，记作．我们把叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．思考：，．根据n次实数方根的定义，可得．例如，．必需注意的是：不一定等于a．当n是奇数时，，例如：，．当n是偶数时，因为表示正的n次方根或者0，所以如果a是非负数，那么，例如：，；如果a是负数，那么，例如：．综上我们有：当为奇数时，；当为偶数时，例1求下列各式的值：（书第46页例1改编）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．2解：（1）＝3．（2）＝－8．（3）＝|－2|＝2．（4）＝|3－π|＝π－3．（5）＝|a－b|＝b－a．点评：对于式子，要特别注意的奇偶性，当为奇数时；当n为偶数时，，否则容易导致错误的产生．Ⅱ．分数指数幂学生活动，总结运算规律．＝5，＝－2，＝24＝16（＝2），＝23＝8（＝2）．，．问题3你能从上面的一组计算过程中，得到什么规律？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式．问题4当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能不能也写成分数指数幂的形式？当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：，，．事实上，如果幂的运算性质②对分数指数幂也适用．这时设，，且N*），那么．这样，由次根式的定义，就可以把看成的次方根．因此我们规定：a＝．3正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：a＝（a＞0，m、nN*）其中m为被开方数的指数，n为根指数．*注意：①分数指数幂只是根式的一种新的表示形式；②分析底数为正的意义．这是因为如果我们不做这样的规定，将会出现矛盾，例如：若规定，...
