第二章2.1第2课时数列的递推公式A级基础巩固一、选择题1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝(A)A．－3B．－4C．－5D．2[解析]由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.2．正项数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4＝(B)A．B．C．D．[解析]由递推关系可得a2＝，a3＝，a4＝.3．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于(C)A．B．C．D．[解析] a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝.同理a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于(D)A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n[解析] an＋1－an＝－1.∴a2－a1＝－1，a3－a2＝－1，…，an－an－1＝－1，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.5．已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2007＝(C)A．xB．yC．y－xD．－x[解析]根据递推关系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，这6个数值重复出现a2007＝a334×6＋3＝a3.6．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是(B)A．40个B．45个C．50个D．55个1[解析]交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此猜想an＝，∴a10＝＝45.二、填空题7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，则a5＝__120__.[解析]因为an＝nan－1，且n≥2，所以当n＝2时，a2＝2a1＝2；当n＝3时，a3＝3a2＝6；当n＝4时，a4＝4a3＝24；当n＝5时，a5＝5a4＝120.故a5＝120.8．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为__，，，，__.[解析] an＝3n－1(n∈N*)，∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，∴bn＝＝.∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝.三、解答题9．一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把现有剩马的一半送给卢俊义，卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉……一直送到108名好汉的最后一名是这样的，老汉下山回家时还剩两匹马，你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？[解析]设老汉上山一共带了a1匹千里马，送给宋江后还剩a2匹，则a2＝a1＋1，再送给卢俊义后还剩下a3匹，则a3＝a2＋1.依次地进行下去，送给第k个人后还剩下ak＋1＝ak＋1，按照题目要求应有a109＝a108＋1＝2. a109＝2，∴a108＝2.依次代入递推关系可得a1＝a2＝a3＝…＝2.即老汉最初上山带了两匹千里马．B级素养提升一、选择题1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝(A)A．1B．1999C．1000D．－1[解析]a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝(B)A．0B．－C．D．[解析] a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，….至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－，，0，－，，0，…，周而复始． 20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝－.二、填空题3．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋，则a6＝__－__.[解析]an＋1＝2＋＝，a1＝－2，2∴a2＝＝，a3＝＝6，a4＝－，a5＝，a6＝－.4．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝__－__.[解析]f(n＋1)＝＋＋＋…＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.三、解答题5．(1)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，写出这个数列的前5项；(2)用上面的数列{an}，通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前5项．[解析](1) a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.(2) a6＝a4＋a5＝13，bn＝，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝，b5＝＝.6．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，求数列{an}的前5项，并猜想an.[解析] a1＝3，an＋1＝，∴a2＝＝＝，a3＝＝＝1＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，∴猜想：an＝.C级能力拔高1．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A、B)共有8站，从A地出...
