第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.直线x-√3y-1=0的倾斜角α的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析直线x-√3y-1=0的斜率为k=√33,故tanα=√33. 0°≤α<180°,∴α=30°.答案A2.圆x2+y2-4x=0在点P(1,√3)处的切线方程为()A.x+√3y-2=0B.x+√3y-4=0C.x-√3y+4=0D.x-√3y+2=0解析 点P(1,√3)在圆x2+y2-4x=0上,∴点P为切点.从而圆心与点P的连线应与切线垂直.又圆心为(2,0),设切线斜率为k,∴0-√32-1·k=-1,解得k=√33.∴切线方程为x-√3y+2=0.答案D3.已知A、B为圆x2+(y-1)2=4上关于点P(1,2)对称的两点,则直线AB的方程为()A.x+y-3=0B.x-y+3=0C.x+3y-7=0D.3x-y-1=0解析记圆心为C(0,1),由题意CP⊥AB,kCP=2-11-0=1,∴kAB=-1,又 直线AB过点P(1,2),∴直线AB的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0,故选A.答案A4.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为()A.√2B.0C.-1D.1解析直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),所以点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时PQ垂直于直线mx-y+1-2m=0,即m·2-13-2=-1,所以m=-1,故选C.答案C5.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A.6√2-2B.8C.4√6D.10解析易知点A关于x轴对称点A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为√(5+1)2+(7+1)2=10.故所求最短路程为10-2=8.答案B6.方程(x2+y2-4)·√x+y+1=0的曲线形状是()解析由(x2+y2-4)√x+y+1=0可得{x2+y2-4=0,x+y+1≥0或x+y+1=0,它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分.答案C7.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2√3,则k的取值范围是()A.[-34,0]B.(-∞,-34]∪[0,+∞)C.[-√33,√33]D.[-23,0]解析圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.当|MN|=2√3时,弦心距最大,由点到直线的距离公式得|3k-2+3|√1+k2≤1,解得k∈[-34,0].答案A8.过点(√2,0)引直线l与曲线y=√1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.√33B.-√33C.±√33D.-√3解析曲线y=√1-x2的图象如图所示:若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k<0,设l:y=k(x-√2),则点O到l的距离d=-√2k√k2+1.又S△AOB=12|AB|·d=12×2√1-d2·d=√-(d2-12)2+14,当且仅当d2=12时,S△AOB取得最大值.所以2k2k2+1=12,∴k2=13,∴k=-√33.故选B.答案B二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)9.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是()A.y=x+1B.y=2C.y=43xD.y=2x+1解析所给直线上的点到定点M距离能否取4,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离来分析.A.因为d=5+1√2=3√2>4,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”;B.因为d=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M距离等于4,是“切割型直线”;C.因为d=20√32+42=4,直线上存在一点,使之到点M距离等于4,是“切割型直线”;D.因为d=11√5=11√55>4,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”.答案BC10.已知ab≠0,点M(a,b)为圆x2+y2=r2内一点,直线m是以点M为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2,则下列结论正确的是()A.m∥lB.l⊥mC.l与圆相交D.l与圆相离解析因为KMO=ba,∴直线m的方程为y-b=-ab(x-a),即ax+by-a2-b2=0, M在圆内,∴a2+b2r,∴l与圆相离.答案AD11.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是()A.3B.1C.2D.-2解析圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4,过P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P、圆心C以及两切点构成正方形,所以PC=2√2. P在直线y=k(x+1)上,∴圆心到该直线的距离d=|2k-0+k|√1+k2≤2√2,计算得-2√2≤k≤2√2.对照选项,知BCD均有可能.答案BCD12.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b解析由题意,由圆C2的方程可化为C2:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0两圆的方程相减可得直线AB的方...
