2016-2017学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.2分析法课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．要证明＋＜2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法解析：要证明＋＜2，只需证＋＜＋.两边平方有10＋2＜10＋10.即只要证2＜10.再两边平方有84＜100成立．故＋＜2成立．由证明过程可知分析法最合理．答案：B2．如果a、b都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是()A．|a＋b|－|b|≤|a|B．2≤|a＋b|(ab＞0)C．|a－b|≥|b|－|a|D．|a＋b|≥a－b解析：A中，|a|＝|(a＋b)－b|≥|a＋b|－|b|成立；B中，要使2≤|a＋b|成立，只需4ab≤a2＋2ab＋b2，即(a－b)2≥0成立，∴B中不等式恒成立；C中，|a－b|≥|b|－|a|成立；但D中不一定恒成立，当a≤b时显然成立，当a＞b时，要使|a＋b|≥a－b成立，只需使(a＋b)2≥(a－b)2即4ab≥0成立，但a＞b不一定有ab≥0成立，所以D中不等式不恒成立．答案：D3．设正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则()A．ad＝bcB．ad＜bcC．ad＞bcD．ad≤bc解析：|a－d|＜|b－c|，∴|a－d|2＜|b－c|2，即a2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc.∵a＋d＝b＋c，∴(a＋d)2＝(b＋c)2∴a2＋d2＋2ad＝b2＋c2＋2bc.∴－4ad＜－4bc.∴ad＞bc.答案：C4．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是()A．ab＞0B．ab＜0C．a＞0，b＜0D．a＞0，b＞0解析：∵与同号，由＋≤－2，知＜0，＜0，即ab＜0.又若ab＜0，则＜0，＜0.∴＋＝－≤－2＝－2，综上，ab＜0是＋≤－2的充要条件，∴a＞0，b＜0是＋≤－2的一个充分而不必要条件．1答案：C二、填空题5．如右图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足____________________时，BD⊥A1C.(写出一个条件即可)．解析：欲使BD⊥A1C，只需BD⊥面A1ACC1，∴可填条件：BD⊥AC或ABCD为菱形(正方形)等．答案：BD⊥AC(不唯一)6．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________________．解析：a＋b＞a＋b⇔a－a＞b－b⇔a(－)＞b(－)⇔(a－b)(－)＞0⇔(＋)(－)2＞0，只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b三、解答题7．已知a>6，求证：－<－.证明：证法一：要证－<－，只需证＋<＋⇐(＋)2<(＋)2，⇐2a－9＋2<2a－9＋2⇐<，⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，⇐18<20因为18<20显然成立，所以原不等式－<－成立．证法二：要证－<－，只需证<，只需证＋>＋.∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0.又∵a－3>a－5，∴>.同样有>，则＋>＋.∴－<－.8．已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.证明：证法一(比较法)：∵＋－－＝＋＝＝≥0，∴＋≥＋.证法二(分析法)：要证＋≥＋，2只要证：a＋b≥(＋)．即证(a＋b－)(＋)≥(＋)．即证a＋b－≥.也就是要证a＋b≥2.显然a＋b≥2成立，故＋≥＋.证法三(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x＋≥2(x>0)使左边向整式型过渡)：(法一)∵＋＋＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当a＝b时取等号，∴＋≥＋.(法二)∵(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当a＝b时取等号，∴＋≥＋.9．设a、b、c为三角形的三边，且S2＝2ab，S＝(a＋b＋c)，试证：S＜2a.证明：欲证S＜2a，∵S＝(a＋b＋c)，即只需证(a＋b＋c)＜2a，即需证b＋c＜3a，再往下无法进行，故需另用其他证法．又由S2＝2ab，故只需证S＜即b＜S，即2b＜a＋b＋c故只需证b＜a＋c，由三角形一边小于其他两边和，此式显然成立．原命题得证．3
