2014届皖南八校高三第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ACBAADBCDC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．12．13．14．15．②③⑤三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本题满分12分）已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式的解集是空集．（Ⅰ）求角的最大值；（Ⅱ）若，的面积，求角取最大值时的值．解：（Ⅰ）显然不合题意，则，即，即解得：故角的最大值为．--------------------6分（Ⅱ）当=时，，∴，ABPEDC由余弦定理得：，∴，∴．--------------------12分17．（本题满分12分）从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取两条，设为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，．（Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．解：（Ⅰ）当ξ＝0时，即所选的两条面对角线平行．则P(ξ＝0)=．--------4分（Ⅱ）ξ＝0，；P(ξ＝0)==，P(ξ＝)==，P(ξ＝)==；ξ0P--------------------10分Eξ＝．--------------------12分18．（本题满分12分）已知是正方形，直线⊥平面，且，（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）设为棱的中点，在的内部或边上是否存在一点，使，若存在，求出点的位置，若不存在说明理由．解：方法一：（Ⅰ）因为，，设平面的法向量为，则，令，得，同理得平面的法向量为，所以其法向量的夹角为，即二面角为．----------------6分（Ⅱ）∵，设，（，，），则．由面，得．∴存在点（即棱的的中点），使面．-------------12分方法二：（Ⅰ）连结交于，则面，作于，连结，则就是二面角的平面角．．=，∴二面角为．（Ⅱ）存在的中点，使⊥平面．是△中位线，，而面，故⊥平面．FMOIHGABPEDC19．（本题满分13分）数列na：满足，（Ⅰ）设，求证nC是等比数列；（Ⅱ）求数列na的通项公式；（Ⅲ）设，数列nb的前n项和为nT，求证：．解：（Ⅰ）由2*142,()nnnaaanN得21)2(2nnaa，，即12nnCC，∴是以2为公比的等比数列；--------------------4分（Ⅱ）由，即，∴--------------------8分（Ⅲ）∴．--------------------13分20．（本题满分13分）已知命题“若点是圆上一点，则过点的圆的切线方程为”．（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点是椭圆上一点，则过点的切线方程为．”（写出直线的方程，不必证明）．（Ⅱ）已知椭圆：的左焦点为，且经过点（1，）．（ⅰ）求椭圆的方程；（ⅱ）过的直线交椭圆于、两点，过点、分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．解：（Ⅰ）；--------------------3分（Ⅱ）（ⅰ）；--------------------7分（ⅱ）当直线的斜率存在时，设为，直线的方程为，设A，B，则椭圆在点处的切线方程为：①椭圆在点的切线方程为：②联解方程①②得：，即此时交点的轨迹方程：．--------------------11分当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，经过两点的切线交点为综上所述，切线的交点的轨迹方程为：．--------------------13分21．（本题满分13分）已知函数，（）（Ⅰ）若在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有唯一零点，试求实数的取值范围．解：（Ⅰ），∴，∴，∴，--------------------2分令，则有根：，，，函数单增；，，函数单减；--------------------5分∴；--------------------6分（Ⅱ）方法一：由题，即有唯一正实数根；令，即函数与函数有唯一交点；-----------9分；再令，，且易得，故，当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增；即，又当时，，而当时，且，O=()yxx11草图故满足条件的实数的取值范围为：．--------------------13分方法二：有唯一正实数根，，记；（ⅰ）若，，即函数在定义域上单调递增，又，，即函数有唯一零点；（ⅱ）若即，则，从而，又当时，，而当时，；故函数有唯一零点；（ⅲ）若，则，但方程的两根满足：，即两根均小于0，故，从而，由（ⅱ）同理可知，仍满足题意；（ⅳ）若，同样，则方程的两根为：，（舍）；当时，，故在为增函数，当时，，故在为减函数，故，当时，取得最大值；则，即，所以，即；令，则，即为定义域上增函数，又，所以方程有唯一解，故，解得；综上，实数的取值范围为：．
