2.6.2双曲线的几何性质课后篇巩固提升基础达标练1.若双曲线x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为()A.4B.14C.-4D.-14解析双曲线x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,可得√k=2,解得k=4.答案A2.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为50°,则C的离心率为()A.2sin40°B.2cos40°C.1sin50°D.1cos50°解析双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,由双曲线的一条渐近线的倾斜角为50°,得ba=tan50°=sin50°cos50°,则b2a2=c2-a2a2=e2-1=sin250°cos250°,得e2=1+sin250°cos250°=1cos250°,∴e=1cos50°.答案D3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则双曲线C的方程为()A.x220−y25=1B.x25−y220=1C.x280−y220=1D.x220−y280=1解析双曲线C的渐近线方程为x2a2−y2b2=0,点P(2,1)在渐近线上,∴4a2−1b2=0,即a2=4b2,又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20,故选A.答案A4.(多选)已知双曲线C:x2-y24=1,则下列说法正确的有()A.双曲线C的离心率等于半焦距的长B.双曲线y2-x24=1与双曲线C有相同的渐近线C.直线x=√55被圆x2+y2=1截得的弦长为4√55D.直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2解析双曲线C:x2-y24=1,可得a=1,b=2,c=√5,所以双曲线的离心率为e=√5=c,所以A正确;双曲线C:x2-y24=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线y2-x24=1的渐近线方程为y=±12x,所以B不正确;直线x=√55被圆x2+y2=1截得的弦长为2√1-15=4√55,所以C正确;直线y=kx+b(k,b∈R),当b=0时,直线与双曲线的交点可能是0个,也可能是2个;当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线的交点是1个.所以直线与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2,所以D正确.答案ACD5.我们把方程分别为x2a2−y2b2=1和y2b2−x2a2=1的双曲线称为共轭双曲线,则共轭双曲线有相同的()A.离心率B.渐近线C.焦点D.顶点解析共轭双曲线x2a2−y2b2=1和y2b2−x2a2=1的c=√a2+b2,设a>0,b>0,可得它们的焦点分别为(±c,0),(0,±c),渐近线方程均为y=±bax,离心率分别为ca和cb,它们的顶点分别为(±a,0),(0,±b).答案B6.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1作倾斜角为π6的弦AB,则|AB|=.解析易得双曲线的左焦点F1(-2,0),∴直线AB的方程为y=√33(x+2),与双曲线方程联立,得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=-138,∴|AB|=√1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2=√1+13×√(12)2-4×(-138)=3.答案37.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一个交点为P,若三角形F1PF2的面积为a2,则C的离心率为.解析不妨设P为右支上一点,设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a,由题意可得△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,可得m2+n2=4c2,且12mn=a2,由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,即为c=√2a,可得e=ca=√2.答案√28.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为x29−y227=1或y29−x227=1.(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),即x2λ4−y2λ9=1(λ≠0),由题意得a=3.当λ>0时,λ4=9,λ=36,双曲线方程为x29−y24=1;当λ<0时,-λ9=9,λ=-81,双曲线方程为y29−x2814=1.故所求双曲线的标准方程为x29−y24=1或y29−x2814=1.9.过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.解如图所示,与渐近线平行的直线l的斜率为ba,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=ba(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得4a2a2−y2b2=1,化简得y=-√3b或y=√3b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-√3b),代入直线方程得-√3b=ba(2a-c),化简可得离心率e=ca=2+√3.能力提升练1.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.√3D.√2解析设椭圆与双曲线的...
