浅析一次函数解析式中k和b的几何意义朱治辉一次函数的图象是一条直线。斜率k的正负性表示函数的增减性，即当k>0时，函数y随着自变量x的增加而增加，当k<0时，函数y随着自变量x的减少而减少。在图象表示为当斜率k>0时，直线从左至右呈上升趋势；当k<0时，直线从左至右呈下降趋势。并且斜率k的绝对值表示函数y在自变量x的每个单位时间内变化的快慢。当k的绝对值较大时，函数在自变量的每个单位内变化的快，在图象上就表示为直线比较陡；当k的绝对值较小时，函数在自变量的每个单位内变化的慢，在图象上就表示为直线比较平缓。而截距b在图象上表示为直线与纵轴的交点位置，当b>0时，直线与纵轴的交点在其正半轴上；当b<0时，直线与纵轴的交点在其负半轴上。例1.如图1所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定，水注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽），水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（）分析：先审清题意，本题中的时间可分为三个段。第一段从注水开始到水注满烧杯结束，在这段时间内水槽的水面高度为零；第二段时间从水槽内有水开始到高度上升到烧杯的高度为止，在这段时间内水槽内水的高度迅速增加；第三段时间从水到烧杯高度开始到水槽内的水注满结束，在这段时间内水槽内的水的高度缓慢增加。所以在图象上表示为第一段时间内高度为零，可先排除C答案和D答案。再看A答案和B答案，由于第三段时间内水高上升的速度要比第二段时间内上升的缓慢，在图象上表示为第三部分要比第二部分平缓，所以应选择B答案。另外：若水先注入水槽中，水的高度h与时间t的关系如何？或在上述两种情况下，烧杯中水的高度h与时间t的关系大致如何？请读者自行思考。例2.教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接水量都是相等的，两个放水管同时打开时，它们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量与放水时间的函数关系如图3所示：（1）求出饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系式。（2）如果打开第一个水管后2min时，恰好有4个同学接完水，则前22个同学接完水共需要几分钟？（3）按（2）的放法，求出在课间10min内班级最多有多少个同学能及时接完水？分析：先审清题意，用待定系数法求出两段解析式。再利用斜率k的几何意义，验证所求结果。解：（1）设线段AB为：，把A（0，18），B（2，17）分别代入可得：即所以线段AB为：。设线段BC为：，把B（2，17），C（12，8）分别代入可得：即所以线段BC为：。注：在求线段AB时，由b的几何意义可知：b=18，验证所得结果。（2）误解：一个水管2分钟可接满4个同学，则一个水管1分钟可接满2个同学；二个水管1分钟可接满4个同学，所以22个同学中，前4个同学用时2分钟，后18个同学用时分钟，所以共需要分钟。误解原因：根据第（1）问中所求结果可知，则，就是说，在单位时间内打开一个水管和打开两个水管时的出水量不是1：2，所以解答错误。正解一：前4个同学共接水：水，则每人需水量为：，所以22个同学共需要水量为：，所以22个同学接完水后的存水量为：，则对于线段BC：，可令，则有：，即分钟。正解二：利用斜率k的几何意义来求解，斜率k<0表示存水量在下降，其绝对值0.9表示存水量每分钟减少0.9L。所以22个同学中，前4个同学用时2分钟，后18个同学用时0.25分钟，所以共用时分钟。（3）令x=10，则存水量，则放水量为：，所以人数为：人。本题中：斜率k<0表示存水量在下降，其绝对值表示存水量每分钟减少了多少。从上面两个习题可以看出真正理解斜率k的几何意义是非常重要的，它有助于我们抓住问题的本质，在解决有关问题时能够快速的达到目的。
