高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质（一）作业2 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.2.2抛物线的简单性质（一）[A.基础达标]1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是()A．y＝3x2或y＝－3x2B．y＝3x2C．y2＝－9x或y＝3x2D．y＝－3x2或y2＝9x解析：选D.圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，所以p＝或p＝，所以y2＝9x或x2＝－y.2．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据题意只要|FM|>4即可，由抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A．4B．－4C．p2D．－p2解析：选B.当AB的斜率为k时，AB所在的直线方程为y＝k，代入y2＝2px得：k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.根据根与系数的关系可得y1y2＝k2＝－p2，故＝－4.当AB斜率不存在时，即AB⊥x轴，易得＝－4.4．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则＋等于()A．2aB.C．4aD.解析：选C.设直线方程为y＝kx＋，代入y＝ax2，得ax2－kx－＝0.由根与系数的关系可得p＝y1＋＝kx1＋，q＝y2＋＝kx2＋，所以＋＝＋＝＝4a.5．已知抛物线y＝x2上有一定点A(－1，1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是()A．(－∞，－3]B．[1，＋∞)C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选D.设P(x0，x)，Q(x，x2)，其中x0≠－1，x≠x0，则PA＝(－1－x0，1－x)，PQ＝(x－x0，x2－x)，因为PA⊥PQ，所以PA·PQ＝0.所以－(1＋x0)(x－x0)＋(1－x)(x2－x)＝0，即－1＋(1－x0)(x＋x0)＝0，所以x＝－x0＋＝(1－x0)＋－1，当x0<1时，1－x0＋≥2，当且仅当x0＝0时，等号成立．所以x≥2－1＝1；当x0>1时，1－x0＋＝－[(x0－1)＋]≤－2，当且仅当x0＝2时，等号成立，所以x≤－2－1＝－3，故点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．6．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则n＝________．解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴，又过焦点且与x轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．答案：27．已知点A、B是抛物线y2＝4x上的两点，O是坐标原点，OA·OB＝0，直线AB交x轴于点C，则|OC|＝________．解析：设A、B的坐标分别为、，因为OA·OB＝0，所以·＋y1y2＝0，即y1y2＝－16.AB所在的直线方程为y－y1＝(x－)＝(x－)，令y＝0，得x＝＋＝＝4.1答案：48．已知直线y＝k(x－2)(k>0)与抛物线y2＝8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝3|FB|，则k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2<0.由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4.①又|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2且|AF|＝3|FB|，所以x1＝3x2＋4，②由①②解得x2＝，所以B(，－)，代入y＝k(x－2)得k＝.答案：9．已知M(3，y0)(y0>0)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.(1)求抛物线C的方程；(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．解：(1)因为|MF|＝3＋＝5，所以p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为y＝k(x－2)，联立得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，由根与系数的关系得xM·xN＝＝4，因为xM＝3，所以xN＝.因为N为MF的延长线与抛物线的交点，由图像可知yN<0.所以yN＝－＝－，所以N(，－)．10．已知动点M到点(4，0)的距离比它到直线l：x＝－3的距离多1.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)求过点(4，0)且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度．解：(1)由题意易知，动点M到点(4，0)的距离与到直线x＝－4的距离相等，故M点的轨迹为以(4，0)为焦点，x＝－4为准线的抛物线，此抛物线方程为y2＝16x.(2)设直线与抛物线的交点为A，B，直线AB的方程为y－0＝(x－4)，即y＝x－，将直线方程与抛物线...