高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）自我小测 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

2.1.2数列的递推公式（选学）自我小测1．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5为()A．13B．14C．15D．162．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于()A．－1B．1C．0D．23．已知在数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，an＋1＝－(n＝1，2，3，…)，能使an＝b的n的数值可以是()A．14B．15C．16D．174．若数列{an}满足：an＋1＝1－，且a1＝2，则a2015等于()A．1B．2C．D．5．已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，则通项公式为()A．3nB．2nC．nD．n6．已知在数列{an}中，an＝2n＋1．在数列{bn}中，b1＝a1，当n≥2时，bn＝1nba，则b4＝________，b5＝________．7．已知a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，依次写出{an}的前5项为________，归纳出an＝________．8．若数列{an}满足＋＝k(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1＝1，a2＝2，则a2012＝________．9．已知a，b为两个正数，且a>b，设a1＝，b1＝，当n≥2，n∈N＋时，an＝，bn＝．(1)求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；(2)求证：an＋1－bn＋1<(an－bn)．10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln，写出该数列的前四项并求数列的通项公式．参考答案1．解析：由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15．答案：C2．解析：由已知an+1＝a－1＝(an＋1)(an－1)，∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1．答案：A3．解析：∵a1＝b，an+1＝－，∴a2＝－，a3＝－，a4＝b．∴{an}的项是以3为周期重复出现的．由于a1＝a4＝b，∴a7＝a10＝a13＝a16＝b．故选C．答案：C14．解析：由an+1＝1－，a1＝2，得a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝2，…，由此可见，数列{an}的项是以3为周期重复出现的，故a2015＝a3×671+2＝a2＝，故选D．答案：D5．答案：B6．解析：题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系，可以逐个推导．∵an＝2n＋1，bn＝abn－1(n≥2)，∴b1＝a1＝3，b2＝1ba＝a3＝7，b3＝2ba＝a7＝15，b4＝3ba＝a15＝31，b5＝4ba＝a31＝63．答案：31637．解析：已知题中已给出{an}的第1项即a1＝1，根据递推公式：an+1＝，将n＝2，3，4，5依次代入可得这个数列的前5项，∴a2＝，a3＝＝，a4＝，a5＝＝．∴an＝．答案：1，，，，8．答案：210069．证明：(1)易知对任意n∈N+，an>0，bn>0．由a≠b，可知>，即a1>b1．同理，>，即a2>b2．可知对任意n∈N+，an>bn．所以an+1－an＝－an＝<0，所以数列{an}是递减数列．又bn+1－bn＝－bn＝(－)>0，所以数列{bn}是递增数列．(2)an+1－bn+1＝－<－＝(an－bn)．∴an+1－bn+1＜(an－bn)．10．解：∵a1＝2，an+1＝an＋ln，∴a2＝a1＋ln(1＋1)＝2＋ln2，a3＝a2＋ln＝2＋ln2＋ln＝2＋ln3，a4＝a3＋ln＝2＋ln3＋ln＝2＋ln4．由an+1＝an＋ln可得：an+1－an＝ln＝ln，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋ln＋…＋ln＋ln＋2＝ln＋2＝lnn＋2，∴该数列的通项公式为an＝lnn＋2(n∈N＋)．2