高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率作业1 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

3.1变化的快慢与变化率[基础达标]1.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积增加ΔS等于()A．8πRΔRB．8πRΔR＋4π(ΔR)2C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2解析：选B.ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.2.某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3，3＋Δt)中的平均速度等于()A．6＋ΔtB．6＋Δt＋C．3＋ΔtD．9＋Δt解析：选A.v＝＝＝＝6＋Δt.3.已知点P(2，8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为()A．2B．4C．6D．8解析：选D.Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，＝＝8＋2Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数8.4.已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.B.C.D.解析：选D.＝＝4＋Δt－，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于，∴选D.5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为()A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，当Δt趋于0时，＝16－8t－4Δt无限趋近于0.即16－8t＝0，解得t＝2.6.某日中午12时整，甲车自A处以40km/h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以60km/h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．解析：＝＝100km/h.答案：100km/h7.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2时，木块的瞬时速度为________．解析：＝＝t＋Δt.当t＝2，且Δt趋于0时，趋于.答案：8.已知曲线y＝x2＋1在点M处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为________．解析：Δy＝(x＋Δx)2＋1－(x2＋1)＝2xΔx＋(Δx)2，＝＝2x＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x＝－4，所以x＝－2，可得y＝5.答案：(－2，5)9.求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪点附近的平均变化率最大．解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.令Δx＝，可得k1＝，k2＝，k3＝，故函数f(x)在x＝3附近的平均变化率最大．10.如果一个质点从定点A开始运动，关于时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3.求该质点在t＝4时的瞬时速度．解：＝＝1＝48＋12Δt＋(Δt)2，当Δt无限趋近于零时，无限趋近于48.即质点在t＝4时的瞬时速度是48.[能力提升]1.函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是()A．k1＜k2B．k1＞k2C．k1＝k2D．无法确定解析：选D.因为k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定．2.若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，则Δx的范围是________．解析：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：＝＝＝＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)3.若一物体的运动方程如下(s单位：m，t单位：s)：s＝求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解：(1)t∈[3，5]时，Δt＝5－3＝2，Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，∴＝＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均速度为v＝＝＝＝3Δt－18，∴物体在t＝0时的瞬时速度为v0＝lim＝lim(3Δt－18)＝－18(m/s)．(3)∵物体在t＝1时的平均速度为v＝＝＝3Δt－12，∴物体在t＝1时的瞬时速度为v＝lim＝lim(3Δt－12)＝－12(m/s)．4．质点M按规律s＝s(t)＝at2＋1做直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：假设存在常数a，则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝＝4a＋aΔt.当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a，由题易知4a＝8，解得a＝2.所以存在常数a＝2，使质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s.2