课时分层作业(九)坐标法(建议用时：40分钟)一、选择题1．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为()A．2B．－3C．5D．3或－5D[设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．]2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于()A．5B．－1C．1D．－5D[易知x＝－3，y＝－2．∴x＋y＝－5．]3．已知A(－3,5)，B(2,15)，则|AB|＝()A．5B．5C．5D．5D[|AB|＝＝＝5．]4．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝()A．2B．4C．D．A[由题意知，设D(x，y)，∴∴∴D(1,7)．∴|CD|＝＝2，故选A．]5．已知A(x,5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为()A．4B．C．D．D[由题意知点C是线段AB的中点，则∴∴|OP|2＝17，∴|OP|＝．]二、填空题6．在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________．11[∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，∴x＝11．]17．若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________．(3．4,0)[设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|＝，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3．4，故所求点M的坐标为(3．4,0)．]8．在△ABC中，设A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．(2，－7)或(－3，－5)[设C(a，b)，则AC的中点为，BC的中点为，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则]三、解答题9．已知A(1,2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？[解]假设在x轴上能找到点P(x,0)，使∠APB为直角，由勾股定理可得|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25，化简得x2－5x＝0，解得x＝0或x＝5．所以在x轴上存在点P(0,0)或P(5,0)，使∠APB为直角．10．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．[证明]取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．11．(多选题)已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，则第四个顶点D的坐标为()2A．(2,2)B．(4,6)C．(－6,0)D．(2，－2)ABC[(1)构成▱ABCD，(以AC为对角线)，设D1(x1，y1)，AC的中点坐标为，其也为BD1的中点坐标，∴＝，＝，∴x1＝2，y1＝2，即D1(2,2)，(2)以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4,6)，(3)以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6,0)．]12．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是()A．1B．2C．3D．4C[若点C在x轴上，设C(x,0)，由∠ACB＝90°，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2．若点C在y轴上，设C(0，y)，同理可求得y＝0或y＝4，综上，满足条件的点C有3个．故选C．]13．已知三角形的三个顶点A(7,8)，B(10,4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．[设BC边的中点M的坐标为(x，y)，则即M的坐标为(6,0)，所以|AM|＝＝．]14．(一题两空)已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则AB边上的中线长CM＝________，△ABC的面积为________．24[∵AB的中点M的坐标为(x，y)，则即M的坐标为(2,2)，∴|CM|＝＝2，又|AB|＝＝2，|AC|＝＝，|BC|＝＝．∵M(2,2)为AB的中点，|CM|＝2，∴S△ABC＝|CM|·|AB|＝×2×2＝4．]315．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所示．试用坐标法证明：|AE|＝|CD|．[证明]如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系．设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(－a,0)，C(c,0)，E，D，于是由距离公式，得|AE|＝＝，同理|CD|＝，所以|AE|＝|CD|．4
