2.3.2双曲线的简单性质[基础达标]1．双曲线x2－＝－1的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选D.方程化为－x2＝1，a＝，b＝1.∴渐近线方程为y＝±x.2.已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选D.焦点在x轴上.＝，c＝4，c2＝42＝a2＋b2＝a2＋(a)2＝4a2，∴a2＝4，b2＝12.故选D.3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，则它的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选C. e＝，∴e2＝＝＝1＋()2＝3，∴＝，又焦点在x轴，∴渐近线方程为y＝±x.4.设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为()A.B.C．1＋D．1＋解析：选B.由题意知AB＝BC＝2c，又∠ABC＝120°，过B作BD⊥AC，D为垂足，则|AC|＝2CD＝2×BCsin60°＝2c，由双曲线定义|AC|－|BC|＝2c－2c＝2a，∴e＝＝＝＝.5.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A.B.C.D.解析：选A.由题意得1＋＝5，p＝8，y2＝16x，当x＝1时，m2＝16，m>0，m＝4.∴M(1，4)，双曲线左顶点A(－，0)，kAM＝，由题意＝，∴a＝.6.双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x＝1时，y＝x＝<2，∴e2＝＝1＋()2<5，又e>1，∴e∈(1，)．答案：(1，)7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，则|AB|＝________．解析：直线的方程为y－1＝x，即y＝x＋1，代入x2－＝1整理得3x2－2x－5＝0，∴x1＝－1，x2＝，|AB|＝|x1－x2|＝|1＋|＝.答案：8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．解析：双曲线的一个顶点为(a，0)，它到渐近线x－y＝0的距离为＝1，∴a＝2，又＝∴b＝a＝.故双曲线方程为－＝1.答案：－＝19.(1)求与双曲线－＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线的方程．(2)已知双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入，得－＝λ，解得λ＝.所以所求双曲线方程为－＝1.(2)法一：椭圆方程可化为＋＝1，易得焦点是(±4，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x，则＝.代入a2＋b2＝c2＝48，解得a2＝36，b2＝12.所以所求双曲线方程为－＝1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则另一条渐近线方程为x＋y＝0.已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x2－3y2＝λ(λ>0)，即－＝1.由椭圆方程＋＝1知c2＝a2－b2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为－＝1.10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2(其中O为原1点)，求k的取值范围．解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22，得b2＝1.故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2≠且k2<1.(*)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由OA·OB>2得xAxB＋yAyB>2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)＋k＋2＝.于是>2，即>0，解此不等式得
