高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 学业分层测评4 平均值不等式 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章不等关系与基本不等式学业分层测评4平均值不等式北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．下列不等式恒成立的是()A．x＋≥2B．sinx＋≥2C.＋≥2D．ex＋≥2【解析】根据≥知，条件需a>0，b>0.∴A，B，C均不成立，D中，∵ex>0，∴成立．【答案】D2．a，b为非零实数，那么不等式恒成立的是()A．|a＋b|＞|a－b|B．≥C.≥abD．＋≥2【解析】a，b为非零实数时，A，B，D均不一定成立．而－ab＝≥0恒成立．【答案】C3．设a＞0，b＞0，且a＋b≤4，则有()A.≥B．＋≥1C.≥2D．≤【解析】4≥a＋b≥2，∴≤2.∴≥，＋≥2·≥1.【答案】B4．设02ab，b>a2＋b2，且>b.故2abB.法二：A＞，B＜，故A＞B.【答案】A＞B8．已知不相等的三个正数a，b，c且abc＝1，则a3＋b3＋c3与3的大小关系是________．【解析】∵a，b，c是不相等的三个正数，且abc＝1，∴a3＋b3＋c3＞3＝3.【答案】a3＋b3＋c3＞3三、解答题9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.【证明】∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴2≤a＋b.因此≤，≥4.则＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8.10．已知a，b，c大于0，求证：(a＋b＋c)≥.【证明】∵a，b，c大于0，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3＞0，＋＋≥3＞0，∴(a＋b＋c)≥.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．能力提升]1．设a，b，c为正数，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．【答案】A2．当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是()A.B．C.D．【解析】由≥及a2＋b2≥2ab，且a≠b，∴≥＝，2∴A，B，C中，最小．而＝.∵a≠b时，a＋b＞2＞0，∴(a＋b)＞2ab＞0，＜.综上可知，最小，应选D.【答案】D3．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.【解析】利用特殊值a＝b＝1排除②④.由平均值不等式ab≤＝＝1，∴①正确．由a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋1]≥2，∴③正确．由＋＝(a＋b)＝≥(2＋2)＝2，∴⑤正确．【答案】①③⑤4．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．【解】因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.于是(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥3·3＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立，即＋＋≥1，故＋＋的最小值为1.3