3.2分析法课时过关·能力提升1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”,其过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证法解析:从证明过程来看,是从已知条件入手,经过推导得出结论,符合综合法的证明思路.答案:B2.设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系为()A.a>bB.a
b.答案:A3.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有()A.1≤ab≤a2+b22B.ab<1¿a2+b221C.ab¿a2+b22<1D.a2+b22bB.ab,且ab<0D.a>b,且ab>0解析:要证1a<1b,只要证1b−1a>0,即证a-bab>0.只有D中条件能满足a-bab>0,故选D.2答案:D6.若a¿√2,b=√7−√3,c=√6−√2,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c解析:要比较b与c的大小,只需比较√7+√2与√3+√6的大小,只需比较(√7+√2)2与(√3+√6)2的大小,即比较√14与√18的大小,显然√14<√18,从而√7−√3<√6−√2,即bc,综上可得a>c>b.答案:B7.已知点An(n,an)为函数y¿√x2+1图像上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图像上的点,其中n∈N+,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.解析:因为an¿√n2+1,bn=n,要判断cn与cn+1的大小关系,只需判断cn的增减性,而cn¿√n2+1−n=1√n2+1+n,cn随n的增大而减小,所以cn+1cn+18.已知a>0,b>0,2c>a+b,求证:c−√c2-ab0,故只需证a-2c<-b,即证a+b<2c,此为题设中的已知条件.故原不等式成立.9.★设a,b,c,D均为正数,且a+b=c+D,证明:(1)若ab>cD,则√a+√b>√c+√d;(2¿√a+√b>√c+√d是∨a−b∨¿∨c−d∨的充要条件.证明(1)因为(√a+√b)2=a+b+2√ab,(√c+√d)2=c+d+2√cd,由题设a+b=c+D,ab>cD,得(√a+√b)2>(√c+√d)2.因此√a+√b>√c+√d.(2)①若|a-b|<|c-D|,则(a-b)2<(c-D)2,即(a+b)2-4ab<(c+D)2-4cD.因为a+b=c+D,所以ab>cD.由(1),得√a+√b>√c+√d.②若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+D,所以ab>cD.4于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+D)2-4cD=(c-D)2.因此|a-b|<|c-D|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-D|的充要条件.10.★如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1.因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⫋平面EFPQ,且BC1⊈平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,B1D1,A1C1,则AC⊥BD.5由CC1⊥平面ABCD,BD⫋平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⫋平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥B1D1∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.6
