空间向量在立体几何中的应用[1]VIP免费

要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析第6课时空间向量在立体几何中的应用要点要点··疑点疑点··考点考点2.向量a与b平行的充要条件为：|a·b|=|a|·|b|.1．向量a与b夹角θ满足：222222212121212121coszyxzyxzzyyxxθ若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}则3.向量a与b垂直的充要条件为：a·b=0即x1x2+y1y2+z1z2=0返回1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线()(A)互不相交(B)至多有两条直线相交(C)三线相交于一点(D)两两相交得三个交点课前热身C2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定32B3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平面_________．PAC4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为()(A)arccos(B)arccos(C)arccos(D)arccos2310105352D【解题回顾】空间两条直线之间的夹角是不超过90°的角．因此，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.5．P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小为()(A)60°(B)70°(C)80°(D)90°D【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.返回【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为；B点到平面α的距离为_________.ABnABarcsinAB·n能力能力··思维思维··方法方法【【解题回顾解题回顾】】用向量求异面用向量求异面直线所成的角，可能会因为直线所成的角，可能会因为我们选择向量方向的缘故，我们选择向量方向的缘故，而求得该角的补角．所以最而求得该角的补角．所以最后作答时要加以确认后作答时要加以确认((取小于或等于取小于或等于90°90°的角作为异的角作为异面直线所成角面直线所成角).).1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取OB=b=1，OC=c=1，这样使过程更加清晰.2.三条射线OA，OB，OC，若∠BOC=α,∠COA=β,∠AOB=γ，又α二面角B-OA-C的大小为θ，试证这些角之间有如下关系：γβγβαθsinsincoscoscoscos【解题回顾】将“两线垂直”问题向“两线所在的向量的数量积为0”转化.3.已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°.(1)求证BD⊥平面ADC；(2)若H是△ABC的垂心，求证H是D在平面ABC内的射影.【解题回顾】根据向量和的平行四边形法则，在平行六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心体会.返回4.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4,AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=.(1)求证：顶点A1在底面ABCD的射影在∠BAD的角平分线上；(2)若M、N分别在D1C1、B1C1上且D1M=2，B1N=2，求BN与CM所成的角.3π延伸延伸··拓展拓展【解题回顾】求两点间距离可以转化为向量的模.5.四面体ABCD中，∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，AC=AD=2，AB=3.(1)求直线AC和BD所成角的余弦值；(2)求点C到平面ABD的距离.6.设l1，l2是两条异面直线，其公垂线段AB上的单位向量为n，又C，D分别是l1，l2意一点，求证|AB|=|CD·n|；【解题回顾】在以上推导中，我们已暗中假定了n的方向是由l1上的点A指向l2上的点B，而CD的方向也是由l1上的点C指向l2上的点D．这样求得的CD·n是正值.如果n指向与CD指向不同则CD·n是负值，所以一般地就写成|AB|=|CD·n|.又如果n不是单位向量，则nnCDAB返回7.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，求体对角线BD1与面对角线B1C的距离.【解题回顾】DA，DC，DD1有着基底的作用，我们将BD1与B1C的公垂线段向量n用这组基底来表示.因为相差一个常数因子不影响其公垂...