2.3.3双曲线的简单性质（1）一、选择题1．[2013·福建高考]双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C.1D.解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.答案：B2．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是()A.－y2＝－1B.x2－＝1C.－y2＝1D.x2－＝－1解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y轴上．因为渐近线方程为x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ(λ>0)，即－＝1,22＝λ＋＝4，解得λ＝3，所以双曲线方程为x2－＝－1，故选D.答案：D3．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率是()A.B．2C.或D.或解析：若双曲线焦点在x轴上，∴＝.∴e＝＝＝＝.若双曲线的焦点在y轴上，∴＝，＝.∴e＝＝＝＝.答案：C4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.B.C．2D．3解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a.∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.答案：B二、填空题5．[2014·北京高考]设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．解析：∵与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线方程为－x2＝k，将点(2,2)代入，得k＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1，其渐近线方程为－＝0，即y＝±2x.答案：－＝1y＝±2x6．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．1解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2.答案：27．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．解析：设椭圆C1的方程为＋＝1(a1>b1>0)，由已知得∴∴焦距为2c1＝10.又∵8<10，∴曲线C2是双曲线．设其方程为－＝1(a2>0，b2>0)，则a2＝4，c2＝5，∴b＝52－42＝32，∴曲线C2的方程为－＝1.答案：－＝1三、解答题8．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)．解：(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为－＝1，∴a＝6.又∵e＝1.5，∴c＝a×e＝6×1.5＝9，b2＝c2－a2＝45.故所求的双曲线方程为－＝1.(2)解：法一：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，令x＝－3，y＝±4，因2<4，故点(－3,2)在射线y＝－x(x≤0)及x轴负半轴之间∴双曲线焦点在x轴上．设双曲线方程为－＝1，(a>0，b>0)，则解之得∴双曲线方程为－＝1.法二：设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，∴－＝λ.∴λ＝，∴双曲线方程为－＝1.9．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．解：设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝.∴s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.∵e＝，∴5≥2e2，∴25(e2－1)≥4e4，即4e4－25e2＋25≤0，∴≤e2≤5(e>1)．2∴≤e≤，即e的取值范围为[，]．3
