抛物线及其标准方程一、选择题1．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＋4＝0B．x－4＝0C．y2＝8xD．y2＝16x[答案]D2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4[答案]C[解析]抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|P1F|＋|P2F|＝|FP3|B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|[答案]C[解析]∵点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2(x2＋)＝x1＋＋x3＋，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|，故选C.4．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.B．＋1C.－2D．－1[答案]D[解析]设抛物线焦点为F，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，则d1＋d2＝|PA|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当P、F、B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取到最小值，最小值为－1.二、填空题5．与圆x2＋y2－4x＝0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是__________．6.以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程为_____________________．解析：抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)．所以所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.答案：(x－1)2＋y2＝117．类似于抛物线的拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m后，则水面宽是________m.解析：如右图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，将A(2，－2)代入方程得m＝－2，∴x2＝－2y，将yB＝－3代入得xB＝，∴水面宽是2xB＝2.答案：2三、解答题8．一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．[解析]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为(，－)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则()2＝m·(－)，∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－.欲使卡车通过隧道，应有y－(－)>3，即－>3，由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13.2
