高中数学 第二章 空间向量与立体几何检测题（A）北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

第二章空间向量与立体几何检测题A时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间中，已知动点P(x，y，z)满足z＝0，则动点P的轨迹是()A．平面B．直线C．不是平面，也不是直线D．以上都不对[答案]A[解析]P的坐标z为0，横坐标x，纵坐标y为任意实数，这样的点都在xOy平面内．2．已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz的单位正交基底，并且AB＝－i＋j－k则B点的坐标为()A．(－1,1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1)D．不确定[答案]D[解析]向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．3．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确[答案]C[解析]因为≠≠，且u·v≠0，所以α、β相交但不垂直．4．设n＝(1,2，－2)是平面α的一个法向量，直线λ的方向向量为a＝(－2,1，m)，若λ与α的夹角的正弦值为，则m等于()A．B．－C．±D．±3[答案]C[解析]设λ与α夹角为θ则sinθ＝，即＝，解得m＝±.5．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是()A．－1B．0C．1D．－2[答案]D[解析] a＋λb＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)，由(a＋λb)⊥a，知(a＋λb)·a＝0.∴λ×0＋(1＋λ)×1＋1×1＝0，得λ＝－2.6．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AC与AB的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)．设〈AB，AC〉＝θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°.7．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A．2B．C．D．1[答案]D[解析]本小题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解．连结AC交BD于O，连EO，则OE∥AC1.∴AC1到平面BED的距离，即为C1点到平面BED之距，又C1E＝CE且CC1∩平面BED＝E，∴C1点到平面BED之间距离等于C点到平面BED之距．又BD⊥平面ECO，∴平面BED⊥平面ECO，过C作CH⊥EO于H，则CH即为点C到平面BED之距，∴CH＝＝＝1.故选D．本题的关键点是过线面距转化为点面距，进而转化为点线距，体现了转化与化归的数学思想方法．8．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值为()A．B．C．－D．[答案]C[解析]如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则CE＝，EP＝，PA＝PB＝，AB＝1，所以BD＝，ED＝.因为BC＝BD＋DE＋EC，所以BC2＝BD2＋DE2＋EC2＋2BD·DE＋2DE·EC＋2EC·BD.所以EC·BD＝－.所以cos〈BD·EC〉＝－.另解：如图建立空间直角坐标系，且设AB＝2，则B(1，，0)，C(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,2)设平面PAB的法向量为n1＝(x，y，z)，由n1·AB＝0，n1·PA＝0得，故可取n1＝(，－1，)又平面APC的法向量可取n2＝(0,1,0)，∴cosθ＝＝－.9．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是()A．30°B．45°C．60°D．75°[答案]A[解析]如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)，则CA＝(2a,0,0)，AP＝(－a，－，)，CB＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，所以〈CB，n〉＝60°，所以直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.10．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A．B．C．D．[答案]A[解析]本题考查了空间向量与空间角．设CB＝1，则CA＝CC1＝2，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)， |BC1|＝，|AB1|＝3，BC1·AB1＝4－1＝3，∴cos〈BC1，AB1〉＝＝＝，故选A．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若A1、A2、A3是空间不共线的三点，则A1A2＋A2A3＋A3A1＝__________________，类比上述性质得到一般性的结论为__________________．[答案]0[解析]A1A2＋A2A3＋…＋An－1An＋...