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综合题汇编教师用书1.如图9-1，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F，连接EF.⑴判断EF与AC的位置关系(不必说明理由)；⑵如图9-2，过E作BC的垂线，交圆于G，连接AG.判断四边形ADEG的形状，并说明理由；⑶求证：AC与GE的交点O为此圆的圆心.解：⑴EF∥AC.1分⑵四边形ADEG为矩形.2分理由： EG⊥BC，E为切点，∴EG为直径，∴EG=AD.3分又 AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，即四边形ADEG为矩形.4分⑶连接FG，由⑵可知EG为直径，∴FG⊥EF，1图9-1图9-2又由⑴可知，EF∥AC，∴AC⊥FG，6分又 四边形ADEG为矩形，∴EG⊥AG，则AG是已知圆的切线.7分而AB也是已知圆的切线，则AF=AG，∴AC是FG的垂直平分线，故AC必过圆心，8分因此，圆心O就是AC与EG的交点.9分说明：也可据△AGO≌△AFO进行说理.2.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x…-3-212…y…--4-0…(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.解：⑴解法一：设，任取x,y的三组值代入，求出解析式，1分令y=0，求出；令x=0，得y=-4，∴A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).3分解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x=-1，1分又 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).3分⑵由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，4分又，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，5分∴SDEFG=DG·DE=(4-2m)3m=12m-6m2(0＜m＜2).6分注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.⑶ SDEFG=12m-6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6.当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，7分设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴，又可求得抛物线P的解析式为：，8分令=，可求出x=.设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有==，9分2图10点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k≠且k＞0.10分说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：⑵ ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，4分又 ，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，∴SDEFG=DG·FG=6.3．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且．动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．在轴上取两点作等边．（1）求直线的解析式；（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；（3）如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点在线段上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值．解：（1）直线的解析式为：．（2）方法一，，，，，，是等边三角形，，，．方法二，如图1，过分别作轴于，轴于，可求得，，，当点与点重合时，3（图1）yAPMONBx（图2）yACODBxE（图1）yAPMONBxQS（图2）yACODBxEGPMHN（图3）yAPMONBxEHCIG，．，．（3）①当时，见图2．设交于点，重叠部分为直角梯形，作于．，，，，，，，，．随的增大而增大，当时，．②当时，见图3．设交于点，交于点，交于点，重叠部分为五边形．方法一，作于，，，，．方法二，由题意可得，，，，再计算，4．，当时，有最大值，．③当时，，即与重合，设交于点，交于点，重叠部分为等腰梯形，见图4．，综上所述：当时，；当时，；当时，．，的最大值是．4．（本小题满分9分）已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接．（1）当时，求的面积；（2）设，用含的代数式表示的面积；（3）判断的面积能否等于，并说明理由．解：（1）正方形中，，．又，因此，即菱形的边长为．在和中，，，，．．，，，即菱形是正...