费马点的小论文费马(PierredeFermat,1601-1665)是一位律师和法国政府的公务员，他利用闲暇的时间研究数学，他从未发表他的研究发现，但是他几乎与同时代的所有欧洲的大数学家保持通信。曾经，费马是欧洲所有数学研究进展之交换中心。费马点的定义费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。费马点的证明证明一Part1当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP,PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点-1-Part2当所有内角都小于120°时做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A,P'B,P'C，过P'作P'H垂直EF于H易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)∵P'A≥P'H所以2S△EP'F≤P'A×d同理有2S△DP'F≤P'B×d2S△EP'D≤P'C×d相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P'重合时取到等号所以P是费马点证明二如右图所示，⊿ABE、⊿ACH、⊿BCG均为等边三角形，连接AG、CE、BH，CE与AB相交于F，则：∵⊿AEC≌⊿ABH，∴∠1=∠2，∴⊿BFP∽⊿EFA，∠3=∠4=60°在PE上取点D，使得⊿DBP为正三角形则⊿ABP≌⊿EBD，得AP=ED∴PA+PB+PC=DE+PD+PC=CE-2-费马点的应用(1)一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上，须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发，可沿此网络中的线达到别的点)，问此网络应以什么方式连接这四个点，方可使所用的线总长最小？-3-
