第十四章解直角三角形一、锐角三角函数（一）、基础知识1．锐角三角函数定义。在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：sinA=,cosA=,tanA=，cotA=这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系2．同角三角函数间的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；(2)商的关系:tanA=；cotA=（3）倒数关系：tanA=3．互余两角三角函数间的关系：sinα=cos(900-α)cosα=sin(900-α)tanα=cot(900-α)cotα=tan(900-α)通常我们把正弦函数和余弦函数叫做互为余函数，即正弦函数是余弦函数的余函数，余弦函数也是正弦函数的余函数，同样，也把正切函数和余切函数叫做互为余函数。上面的四个公式，就可以概括成一句话：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数。4．特殊角的三角函数值：003004506009001sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在105．锐角三角函数的增减性正弦函数和正切函数是增函数；余弦函数和余切函数是减函数。6．锐角三角函数值的范围：00，cotα>0（二）、典型例题例1：已知在△ABC中，∠C=900，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且b―a=7，c=13。求△ABC中较小锐角的四个三角函数。解： b―a=7——————①∴(b-a)2=49∴a2+b2-2ab=49 a2+b2=c2∴a2+b2=132∴a2+b2=169∴169―2ab=49∴ab=60 (a+b)2=(b―a)2+4ab∴(a+b)2=72+2402∴(a+b)2=289 a+b>0∴a+b=17——————②由①、②：a=5,b=12 a0∴b∴cosA=解法二：3 sinA=tanBtanB=cotAcotA∴sinA∴sin2A=cosA sin2A+cos2A=1∴cosA+cos2A=1∴cos2A+cosA―1=0∴cosA cosA>0∴cosA,说明：解法一是根据锐角三角函数定义求cosA的值，即求的值，解法二是利用c三角函数间的关系，建立关于cosA的一元二次方程，从而求出cosA的值，解法一是基本的解法，解法二具有一定的灵活性，对于培养同学的解题能力有好处。例3:已知cotα+=5,00<α<900,求cosα的值。解： cotα+=5∴+=5∴cosα+1=5sinα∴(cosα+1)2=25sin2α∴(cosα+1)2=25(1―cos2α)∴26cos2α+2cosα―24=04∴13cos2α+cosα―12=0∴(13cosα―12)(cosα+1)=0 cosα>0∴cosα+1>0∴13cosα―12=0∴cosα=说明：本题的条件中没有说明α角在直角三角形中，所以不能通过边的比求cosα，只能利用有关的公式建立关于cosα的方程，从而求出cosα的值。例4：比较cos230，tan230，sin230，cot230的大小。解： tan230cos300=∴tan2301∴cot230>cos230∴sin230cos300=∴tan2401>cos250∴sin230
