2.3.2抛物线的简单几何性质【课标要求】1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．2．掌握直线与抛物线位置关系的判断．【核心扫描】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点)自学导引1．抛物线的几何性质类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图象想一想：抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形．2．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径|PF||PF|＝x0＋p2|PF|＝p2－x0|PF|＝y0＋p2|PF|＝p2－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2试一试：通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫通径，试求抛物线y2＝2px的通径的长度．提示通径的长度为2p.名师点睛1．抛物线与双曲线的区别(1)抛物线的几何性质和双曲线的几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．2．抛物线的焦点弦如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)|AB|＝2(x0＋p2)(焦点弦长与中点关系)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p；(4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝2psin2α；如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2.题型一抛物线几何性质的应用【例1】已知双曲线方程是x28－y29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．[思路探索]可先利用双曲线的右顶点求出抛物线的焦点，再求出参数p，写出抛物线的方程．解因为双曲线x28－y29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y2＝82x，其准线方程为x＝－22.规律方法根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，需要确定对称轴和开口方向以及一个待定系数p，即先定型，再定量，必要时结合图形．题型二直线与抛物线的位置关系【例2】求过点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．[思路探索]借助图形讨论直线斜率不存在、为0或不为0三种情况．【变式2】已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．解设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，由x2＝ay，x－2y－1＝0，消去y，得2x2－ax＋a＝0. 直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.题型三有关焦点弦、中点弦问题【例3】抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，求抛物线的方程．[思路探索]根据题意先设出抛物线和直线方程，然后联立两方程求弦长，注意焦半径公式的应用．解如图，依题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋12p.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2＋x2＋p2＝8.又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由y＝－x＋12p，y2＝2px消去y，得x2－3px＋p24＝0，∴x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.规律方法(1)在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，解题时注意整体代入的思想，可使运算、化简简便．(2)在解决直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题...
