理解直线和平面垂直的概念/掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理/掌握三垂线定理及其逆定理第45课时直线与平面垂直三垂线定理1．定义：如果一条直线和一个平面，并且和这个平面内的一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的线，平面叫做直线的面．交点叫做．直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．相交任意垂垂垂足3．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．4．三垂线定理的逆定理：的一条直线，如果和这个平面的一条垂直，那么它也和这条斜线的垂直．在平面内斜线射影1．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线答案：C3．m、n是空间两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n∥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β；其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)答案：①④4．平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1②2③3④4以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)答案：①③直线与平面垂直的判定定理是由线线垂直判定线面垂直，而线面垂直的定义是给出了线线垂直与线面垂直之间的关系，在解决线面垂直的过程中特别要注意线线垂直与线面垂直的互相转化．【例1】如图，已知l⊥a，l⊥α，试判断直线a与平面α的位置关系，并证明你的结论．证明：直线a⊂平面α，或者直线a∥平面α.证法一：(1)若直线a⊂平面α，即证．(2)若直线a⊄平面α，过直线a上一点作c∥l，由l⊥α知：c⊥α，c⊥a.设a、c确定的平面β，α∩β＝b，∴c⊥b.因此a∥b，又a⊄平面α，根据直线与平面平行的判定定理知：a∥α.证法二：(1)若直线a⊂平面α，即证．(2)若直线a⊄平面α，如右图，取空间向量的一组基底{e1，e2，e3}，则e1·e3＝0，e2·e3＝0，e3·a＝0，根据空间向量的基本定理：a＝xe1＋ye2＋ze3，∴a·e3＝(xe1＋ye2＋ze3)·e3＝0，即ze＝0，∴z＝0.因此a＝xe1＋ye2，即a，e1，e2共面．又 a平面α，∴a∥α.变式1.如图，已知l∥α，AB∩α＝B，AO⊥α，AO∩α＝O，且l⊥BO.求证：l⊥AB.证明：设直线l与点B确定的平面为β，且α∩β＝l′，则l∥l′，由l⊥BO得l′⊥BO，根据三垂线定理l′⊥AB，因此l⊥AB.证线面垂直的方法：(1)利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．(2)用线面垂直的判定定理：证一直线与平面内两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．(3)用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于这个平面，则另一条也必垂直于这个平面．(4)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面．(5)用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面．【例2】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面正方形的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O⊥平面MAC.证明：证法一：如图(1)，连结AB1、CB1，由AB1＝CB1，又O为AC的中点，∴B1O⊥AC.连结OM、MB1、B1D1，可证，∴B1O⊥OM.根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O⊥平面MAC.证法二：如图(2)建立直角坐标系D—xyz，设DD1＝1则M、C、B1、O的坐标分别为(0,0，)、(0,1,0)、(1,1,1)、(，，0)．∴＝(0,1，－)，＝(－，－，－1)，＝－＋＝0，因此.同理可证：，∴B1O⊥平面MAC.变式2.在四面体A－BCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，试证：AD⊥BC.证明：证法一：如右图，过A点作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结BO、CO、DO.由AB⊥CD，AC⊥BD，根据三垂线定理的逆定理知：BO⊥CD，CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，∴DO⊥BC.根据三垂线...
