•第一节数学归纳法及其应用考纲点击1.理解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.热点提示1.数学归纳法的考查与函数、数列、不等式的考查相结合，是高考的重点.2.以解答题形式出现，属中、高档题.•1．数学归纳法•(1)不完全归纳法，是由____________的推理方法．由不完全归纳法所得到的命题并_________它是正确的，因此它不能作为论证方法．•(2)完全归纳法是一种在研究了事物的________情况后得出一般结论的推理方法，其得出的命题结论是_______，可以作为一种论证方法．特殊到一般不能保证可靠的所有特殊•(3)数学归纳法是用来证明与________有关的数学命题的一种常用方法，运用时，常与不完全归纳法结合使用，用不完全归纳法发现归纳总结规律，用数学归纳法证明结论．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的一般步骤如下：正整数①____________________________________________________．②____________________________________________________________________．③____________________________________________________．在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于_________________________都正确．证明当n取第一个值n0(例如n0＝1或2)时结论正确断定结论对于从n0开始的所有正整数都正确从n0开始的所有正整数假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确•2．归纳、猜想与证明•从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做____________________________．它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究发现、认识规律的有效途径，也是用来培养创新思维能力的有效办法，因此，它就成了高考命题的热点之一．“归纳——猜想——证明”1．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23【解析】当n＝1时，左边有n＋2项，即有3项和，∴为1＋2＋22.•【答案】C2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．0•【解析】边数最少的凸n边形是三角形．•【答案】C3．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1【解析】当n＝k时，左端式子为(k＋1)(k＋2)…(k＋k－1)(k＋k)，当n＝k＋1时，左端式子为(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)．所以左端需增乘的代数式为(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)k＋1＝2(2k＋1)．•【答案】B4．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．【解析】由n＝k时，左边为1＋12＋13＋…＋12k－1，n＝k＋1时，左边＝1＋12＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1，因为分母是连续的自然数且(2k＋1－1)－2k＋1＝2·2k－2k＝2k，所以增加了2k项．•【答案】2k5．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________；由此猜想Sn＝________.【解析】由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，得2Sn＋1＝Sn＋2S1， S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2.令n＝1，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3，∴S2＝32.同理，分别令n＝2，n＝3，可求得S3＝74，S4＝158，由S1＝1＝21－120，S2＝32＝22－121，S3＝74＝23－122，S4＝158＝24－123，猜想Sn＝2n－12n－1.【答案】32，74，1582n－12n－1用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n(2n＋2)＝n4(n＋1)(其中n∈N*)．•【思路点拨】按数学归纳法的证明步骤．【自主解答】(1)当n＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝14(1＋1)＝18，∴等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即12×4＋14×6＋…＋12k(2k＋2)＝k4(k＋1)成立，那么当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k(2k＋2)＋12(k＋1)[2(k＋1)＋2]＝k4(k＋1)＋14(k＋1)(k＋2)＝k(k＋2)＋14(k＋1)(k＋2)...
