函数零点的存在性判断与求解32212212log221yxxxfxxx求函数＝－－＋的零点；判【例断函数＝＋＋的】零点的个数．32223222(2)(2)(2)(1)(12)(1)(1)(2)(1)(1)0211.221,1,2.yxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxx由＝－－＋＝－－－＝－－＝－－＋．令－－＋＝，解得＝或＝或＝－所以函数＝－－＋的零点为－【解析】221221222(0)11log20log2.221log2.2log(0)12(0)21g122lo2fxfxxxxxyxyxyxyxfxxx函数的定义域为，＋．令＝＋＋＝，得＝－－设＝，＝－－易知函数＝在，＋上是单调增函数，＝－－在，＋上是单调减函数．由于它们的图象只有一个交点，所以函数＝＋的零点只有个．函数零点的存在性问题常用的办法有三种：一是零点存在的性质定理，即考察变号零点所在区间端点值的符号；二是直接解方程，求出方程的根或讨论方程根的存在性；三是构造函数，利用函数图象的交点判断函数零点的存在性．本题(1)是转化为方程求零点；本题(2)是构造函数，利用函数图象的性质研究函数零点的存在性．【变式练习1】(1)求函数y＝x3－3x的零点；(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋lg(2m－1)有两个异号零点，求实数m的取值范围．33312123303.3(0)(0)33.1.0lg21011.21021(,)2112xxxxyxxyxyyyyxxfxxfmmmmR令＝－＝，得＝设＝，＝，易知两函数在，＋上都是增函数，且，，＋，它们的图象只有一个交点，所以函数＝－的零点只有一个，是＝函数的图象是抛物线，对称轴方程是＝要使函数存在两个异号零点，只需，解得所以实数的取值范围是【解析】用二分法求方程的近似解【例2】求方程x3－x－1＝0在区间[0,2]上的实数根(精确度为0.1)．303000010.1.01028215010,21.1101,21.51.50.87501,1.5fxxxxfffxxxxfxxfx考察函数＝－－，设精确度为的零点为因为＝－，＝－－＝，所以函数＝－－在上有零点，取中点＝因为＝－，所以；取＝，因为＝，所以【解析】；0000000191.251.25064[1.251.5]1.3751.3750[1.251.375]1.31251.31250[1.31251.375]1.3751.31250.06250.11.375.xfxxfxxfxx取＝，因为＝－，所以，；取＝，因为，所以，；取＝，因为，所以，．因为－＝，所以取＝在用二分法求解方程时，初始区间的选定往往需要通过分析函数的性质(了解函数的大致图象)或者试验估值，并逐步将零点值的区间范围缩小．初始区间的端点不一定选在两个相邻整数之间，初始区间选取不同，不影响最终的计算结果．【变式练习2】求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间是_______________【解析】设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(2.5)＝5.625>0，f(3)＝16>0，故下一个有根区间是[2,2.5]．[2,2.5]函数零点的综合应用22221[2]log(22)2.112log(22)2[2]23PyaxxSPSaaxxa已知集合＝，，函数＝－＋的定义域为若，求【实数的取值范围；若方程－＋＝在，上有解，求实数的取例】值范围．22233min221220(2)222222242.1[,2]021[,2]21[,2]24.(4)1PSPxaxxaxxxxxxfxfxxxxxfxfxxafxafxa因为，故存在中的元素使－＋，则有．令＝，则＝＝当时，，所以在上是单调增函数．依题意，只需存在，使．故＝－所以【解实数的取值范围为－，＋析】．2222233maxmin1log(22)2[,2]21220[,2]2221(2)22222(22)42.11[,2]0.[,2]2213()122.223[,1]222axxaxxxaxxxxxxfxfxxxxxfxfxfxffxfa由方程－＋＝在上有解，即方程－－＝在上有解，则＝．令＝则＝＝－当时，所以在上是减函数，则＝＝，＝＝所以实数的取值范围为2000min211[,2]2202401[,2]2200201()04422(2)0xaxxafxaxxaaafaaf本题是研究方程根的存在性，问题的意义是在区间上，存在使即可，认清了这一点，对于＝－就容易理解了；本问可以不用导数方法，用间接法也能求解，即在区间上，－＋...
