学习必备欢迎下载第六章偏微分方程式之求解在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partialdifferentialequation；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。这些用以描述实际问题的PDE，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finitedifference)何有限元素法(finiteelement)。然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。值得庆幸的是，MATLAB的环境中提供了一个求解PDE问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE，并求解。使得PDE之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。本章将以循渐进的方式，介绍PDE工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行示范，期能使初学者很快熟悉PDE工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。6.1偏微分方程式之分类偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。6.1.1依阶数的分类偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如：一阶偏微分方程式：0yuxu二阶偏微分方程式：032222yuxuyuxu三阶偏微分方程式：02233yuxuyxuxu6.1.2依非线性程度分类学习必备欢迎下载偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性(linear)，似线性(quasilinear)，以及非线性三类。例如，以下之二阶偏微分方程式(ConstantinidesandMostoufi,1999)0)()()()(22222dxucyxubyua可依系数)(之情况，进行如下表之归类类别情况线性系数)(为定值，或仅为(x,y)函数似线性系数)(为依变数(dependentvariable)u或其比方程式中之偏微分低阶之偏微分项的函数，如),,,,()(yuxuuyx非线性系数)(中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如),,,,,()(22222yxuyuxuuyx另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型(elliptic)，拋物线型(parabolic)，以及双曲线型(hyperbolic)。具体上来说，此类偏微分方程式二阶线性之一般式为022222gfuyuexudyucyxubxua系数fedcba和,,,,是定值或为u的函数。若g=0，则上式为其次是偏微分方程式。式子()之分类及代表性例子，请见下表方程式类别判断式代表性范例椭圆型042acbLaplace方程式，02222yuxu拋物线型042acbPoisson方程式，),(2222yxfyuxufuauc~~)~(热传导或扩散方程式tuxu22fuauctud~~)~(~学习必备欢迎下载双曲线型042acb波动方程式22222tuxufuauctud~~)~(~22注：二维系统之运操作数之定义为jyix6.1.3起始条件和边界条件的分类为了能获得偏微分方程式之解答，其起始条件和边界条件可依其特性区分为三类。现以一维之动态热传递方程式(拋物线型偏微分方程式)22xTtT为例，进一步说明如何区分这些边界条件及起始条件(ConstantinidesandMostoufi,1999)。(i)第一类：DirichletCondiction若依变量(T)本身，在某个独立变量值时，被指定，则此条件称为DirichletCondiction，亦称为essential边界条件。下图为一典型的Dirichlet条件示意图0T0,1tTT0),(ttfT01x图6.1平板DirichletCondiction示意图由图中很清楚的显示，该平板之边界条件为0,0,)(txattfT0,0,1txatTT0,0,0txatTT此边界条件依定义，即为DirichletCondiction。同时，若再起始时，各处之温度分布可以位置之函数表示，即10,0,)(xtattfT此亦属Dirichlet型之边界条件。(ii)第二类：NeumannconditionNeumanncondition系指依变量之变化率之边界条件为定值，抑或独学习必备欢迎下载立变量之函数之情况。例如0,1,0txatxT或10,0,)(xtattfxTNeumann型边界条件，亦称为naturalboundarycondition。(iii)第三类：Robbinscondition若依变量之变化率之边界条件，为自身之函数(非独立变量之函数)时，被称为Robbinscondition。例如，0,0,)(txatTThxTkf上式之边界条件，当发生在固液相间之传递上，亦即热流通量(heatflux)正比于固液两端之温差，其示意图如下：01x固體平板Tt液相,fT0),(tTThxTkf(iv)CauchyconditionCauchyconditi...
