最新考纲解读1．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．2．理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的体积公式．高考考查命题趋势球是最常见的几何体，高考对球的考查主要在以下四个方面：(1)球的截面的性质；(2)球的表面积和体积；(3)球面上两点间的球面距离；(4)球与其他几何体的组合体．而且多以选择题和填空题的形式出现，第(4)方面有时用综合题进行考查.1.简单多面体：表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体．棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．2.正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体．正多面体有且只有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．3.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球，定点叫球心，定长叫球的半径，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面．一个球或球面用它的球心的字母表示，例如球O.4.球的截面：(1)球的截面是一个圆；(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足r＝.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．5.经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆．纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆．经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数．纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数．6.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离，l＝Rφ(φ为球心角的弧度数).7.球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝πR3.1.球面距离是弧长，而非两点间的直线距离；求A、B两点的球面距离的步骤是：⑴求弦长|AB|，⑵求球心角∠AOB的大小θ(用弧度制表示)，⑶利用弧长公式写出球面距离θR.求球心角∠AOB时注意到△ABO是等腰三角形，可以取AB的中点，将△AOB转化为两个全等的直角三角形．2．与球有关的结合体求几何体的外接球、内切球半径，关键是找到球心的位置并正确做出截面．几何体的外接球半径还可以转化为求三角形的外接圆半径(利用正弦定理来求)；几何体的内切球半径可用体积法．以下结论要记熟：⑴正方体、长方体外接球直径等于其体对角线长；⑵设正四面体棱长为a则高为h＝63a，外接球半径R＝64a，内切球半径r＝612a，即h＝R＋r，R＝3r.一、选择题1．下列四个命题中错误的个数是()①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球的表面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A．0B．1C．2D．3[解析]①③错误．[答案]C2．一平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是()[答案]C3．若三球的半径之比是123∶∶，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的________倍．()A．4B．3C．2D．1[解析]三球体积之比为1827.∶∶[答案]B4．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是()[解析]设球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋52＝50，∴R＝，∴S球＝4π×R2＝50π.[答案]C5．设集合A＝{正四面体}，B＝{正多面体}，C＝{简单多面体}，则A、B、C之间的关系为()A．A⊂B⊂CB.A⊂C⃘BC．C⊂B⊂AD．C⊂A⊂B[答案]A二、填空题6．(2004年北京，理11)某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是________cm，表面积是________cm2.例1已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积．[分析]先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径，注意：由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形，加以分类讨论．[解]右下图为球的一个大圆截面π·O1A2＝49π，则O1A＝7，又π·O2B2＝400π，∴O2B＝20，(1)当两截面在球心同侧时，OO1－OO2＝9＝R2－72－R2－202，解得R2＝625，S球＝4πR2＝2500π.(2...
