第五节对数与对数函数重点难点重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式．②对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数的换底公式．②对数函数图象、性质的应用．③简单对数方程、不等式的求解．知识归纳一、对数1．定义：ab＝N⇔b＝(a>0，a≠1，N>0)．2．性质：(1)负数和零没有对数；(2)1的对数为0；(3)底的对数为1.3．恒等式：(1)＝，(2)logaab＝.(a>0，a≠1，N>0)logaNNb4．运算法则：(1)loga(MN)＝；(2)logaMN＝；(3)logaNn＝；(4)loganN＝.(其中M>0，N>0，a>0且a≠1，n∈N*)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaN1nlogaN5．换底公式：logab＝logcblogca(c，a>0且c，a≠1，b>0)由换底公式得：logab＝1logba，loganbm＝logab.另外：log10N＝lgN，logeN＝lnN(e＝2.71828…)分别叫做常用对数和自然对数．mn二、对数函数的图象与性质定义y＝logax(a>0，a≠1)图象(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.(4)当时，在(0，＋∞)是增函数；当时，在(0，＋∞)上是减函数．x>10
1性质0100y<0y<0y>0三、反函数的概念与性质1．若函数y＝f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中的每一个元素y0，在A中都有唯一的元素x0与之对应，则函数y＝f(x)存在反函数，记为y＝f－1(x)，且y＝f－1(x)的定义域为y＝f(x)的值域．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．2．互为反函数的图象之间的关系(1)y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线对称．(2)若点P(a，b)在y＝f－1(x)的图象上，则点在y＝f(x)的图象上．若y＝f(x)存在反函数y＝f－1(x)，则f(a)＝b⇔y＝x(b，a)a＝f－1(b)．误区警示1．忽视底数a>1与00且a≠1，N>0)可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事半功倍的效果．二、数形结合的思想有关指数(或对数)与三角函数或(一次、二次函数、幂函数)构成的方程解的个数讨论，不等式恒成立等问题，常通过作出相应基本初等函数的图象，用数形结合法求解．三、解题技巧1．注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵活运用及指对互化的应用．2．(1)同底数的对数比较大小用单调性．(2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式．(3)作差或作商法(4)利用中间量0、1比较．3．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y轴(逆时针底数依次变小)，在直线x＝1右侧，底大图低(区分x轴上方与下方)．4．在对数运算中，常常先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指对互化的运用．[例1](2011·苏北四市二模)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.分析：注意到lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生lg2＋lg5求解．对数的运算与性质解析：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1.答案：1(文)(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2，故选C.答案：C(理)(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.答案：(1)2(2)54[例2](文)已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则ab＝________.对数函数的图象解析：由图象知logab＝1，logab－2＝0，得a＝b＝3，所以ab＝33＝27.答案：27(理)(2011·湖北六市联考)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0
