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高中数学 第三章 推理与证明 聚焦反证法拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件VIP免费

高中数学 第三章 推理与证明 聚焦反证法拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件_第1页
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高中数学 第三章 推理与证明 聚焦反证法拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件_第2页
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聚焦反证法反证法是间接证明的一种基本方法,常常是解决某些“疑难”问题的有力工具.对于一些用直接证明的方法难以证明的结论,常采用反证法.熟练掌握并运用反证法,对提高同学们的解题能力大有裨益.下面就反证法的要点进行归纳整理.1.定义:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.2.反证法的基本思想是:否定结论就会导致矛盾.它可以用下面的程序来表示:“否定———推理———矛盾———肯定.”“否定”———假设所要证明的结论不成立,而结论的反面成立.“推理”———从已知条件和假设出发,应用一系列的论据进行推理.“矛盾”———通过推导,推出与实际“需要”不符、与“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与“题设”矛盾、自相矛盾等.“肯定”———由于推理过程正确.故矛盾是由假设所引起的,因此,假设是错误的,从而肯定结论是正确的.3.应用反证法的原则:正难则反,即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法.4.宜用反证法证明的题型:①易导出与已知矛盾的命题;②一些基本定理;③“否定性”命题;④“惟一性”命题;⑤“必然性”命题;⑥“至少”、“至多”命题等.5.注意事项:(1)应用反证法证明命题时,反设必须恰当.如“都是”的否定是“不都是”、“至少一个”的否定是“不存在”等.(2)用反证法证明时最好在开篇注明“下面用反证法证明”,以告知读者按反证法的思路阅读或评卷.下面举例说明“反证法”在证题中的应用.例1设的公比分别为.假设是等比数列,则有只需证.由于,而.从而有,而,故有,即,这与已知相矛盾.因此假设不成立,故不是等比数列.点评:当遇到结论为否定形式的命题时,常常采用反证法.例2求证:两条平行线中一条与一个平面相交,那么另一条也与这个平面相交.已知:平面,如图1所示.求证:直线和平面相交.证明:假设和平面不相交,即或.(1)若,因为,所以,这与相矛盾.(2)如果,因为,所以和确定一个平面,显然平面与平面相交.设,因为,所以.又,从而且.故,这与矛盾.由(1),(2)可知,假设不成立.故直线与平面相交.例3求证:正弦函数没有比小的正周期.证明:假设是正弦函数的周期,且,则对任意实数都有成立.令,得,即,从而对任意实数都有,这与矛盾.所以正弦函数没有比小的正周期.例4今有50位同学,男女各一半,围坐一圈,是否存在一种座位的安排方法,使得每一位同学左右两侧的两位同学为一男一女?证明结论.解:不存在这样的座位安排.证明:假设存在这样的安排,则每一位同学必与一同性别的同学相邻,若以M表示男同学,W表示女同学,则每一对相邻而坐的男性(女性)同学的左右两侧必为两对相邻而坐的女性(或男性)同学,如图2所示,因此男性或女性同学数应是偶数,这和男性或女性同学数各占25矛盾,所以这种安排方法不存在.

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