高考数学第一轮基础复习 正弦定理和余弦定理课件VIP专享VIP免费

第六节正弦定理和余弦定理重点难点重点：正余弦定理及三角形面积公式．难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下解的讨论．知识归纳1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC;sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2；tanA＋B2＝cotC2.(5)△ABC的面积公式有：①S＝12a·h(h表示a边上的高)；②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R；③S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．④S＝PP－aP－bP－c，其中P＝12(a＋b＋c)．(6)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.4．解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦定理求出b与c；在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°求出角C，再利用正弦定理求出c边，可有两解，一解或无解，详见下表.在△ABC中，已知a、b和A时解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形A为锐角A为钝角或直角关系式aba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解误区警示1．在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解．注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．3．一般地，sinα>sinβ⇔/α>β，但在△ABC中，sinA>sinB⇔A>B.一、判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边．具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；注意：在△ABC中，b2＋c2－a2>0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a2<0⇔A为钝角．二、解题技巧在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB>0.简证如下：C有解⇔A＋B有解⇔0cos(π－B)⇔cosA>－cosB⇔cosA＋cosB>0.因此判断C是否有解，只须考虑cosA＋cosB的符号即可．了解这一结论，对做选择题或填空题来说，将十分方便．[例1]在△ABC中，sinA＝513，cosB＝45，求cosC.解析： sinA＝513，∴cosA＝±1213当cosA＝1213时，满足cosA＋cosB>0当cosA＝－1213时，cosA＋cosB<0，∴cosA＝－1213舍去∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝513×35－1213×45＝－3365.点评：可利用大边对大角讨论：由cosB＝45得sinB＝35>513＝sinA，∴b>a，即B>A，∴A为锐角，∴cosA＝1213，以下略．[例1](1)在△ABC中，若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________.(2)(2011·北京西城区期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则角A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°正弦定理的应用解析：(1)已知两角和一边只有一解，由B＝30°，C＝105°得，A＝45°，由正弦定理得，b＝asinBsinA＝4sin30°sin45°＝22.(2)根据正弦定理得1sinA＝2sin45°，∴sinA＝12， a