【考纲下载】1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定．【思考】否命题是命题的否定吗？答案：不是．命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论．2．充分条件必要条件充要条件(1)条件p成立⇒结论q成立，则称条件p是结论q的；(2)结论q成立⇒条件p成立，则称条件p是结论q的；(3)条件p成立⇒结论q成立，且结论q成立⇒条件p成立，则称条件p是结论q的.充分条件必要条件充要条件提示：从集合角度理解：①p⇒q，相当于P⊆Q，即PQ或P=Q，如图，即要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了．②p⇔q，相当于P=Q，如图：1．(2009重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B2．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析： x>0⇒|x|>0，|x|>0⇒x>0或x<0.答案：A3．给出命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab且cd，则a+cb+d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：ab且cd，可以推出a+c=b+d，从而原命题、逆否命题均不成立，又若a=b或c=d，a+c=b+d不一定成立，从而逆命题、否命题均不成立．答案：A4．命题“若a>b，则2a>2b-1”的否命题为________．答案：若a≤b，则2a≤2b-1命题的真假可通过四种命题间的关系来判断1．原命题为真，它的逆命题不一定为真；2．原命题为真，它的否命题不一定为真；3．原命题为真，它的逆否命题一定为真．【例1】给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0思维点拨：先判断原命题真假，再通过四种命题间的关系判断．解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，显然此命题为假．又 逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．答案：C判定充分必要条件的方法．1．定义法：①判断p是q的什么条件，关键是看p能否推出q，q能否推出p；②若由“”是否成立不能判断，或不好处理，则可看它的逆否命题是否成立．2．集合法：运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．【例2】已知p：|5x-2|>3，q：>0，则綈p是綈q的什么条件？思维点拨：(1)解绝对值不等式、一元二次不等式．(2)写出綈p、綈q.(3)判断綈p⇒綈q还是綈q⇒綈p.解：由|5x-2|>3得：5x-2>3或5x-2<-3，即x>1或x<.由>0得：x2+4x-5>0得：x>1或x<-5.∴綈p：A=，綈q：B={x|-5≤x≤1}， A⊂B，∴綈p⇒綈q且∴綈p是綈q的充分不必要条件．拓展2：将本例中已知条件改为：“已知p：|5x-a|>3，q：>0，且綈p是綈q的充分而不必要条件”，试求a的取值范围．解：由|5x-a|>3得：x>或x<，由>0得：x>1或x<-5.∴綈p：＝A，綈q：＝B. 綈p⇒綈q且⇔A⊂B，∴解得－22≤a≤2，故a的取值范围为[－22,2].“正难则反”是常用的数学思想方法．当证明一个否定性命题、带有至多(少)等词的命题的真假较为困难时，通常利用反证法，转而去判断它的逆否命题的真假．互为逆否命题的两个命题同真同假就是反证法的逻辑基础．【例3】已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0，真命题．用反证法证明：假设a+b<0，则a<-b，b<-a. f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，则f(a)
