高中数学 (绝对值三角不等式2)课件 新人教A版选修4-5 课件VIP免费

|a|=,00,0,0aaaaa|a|AaOx|a-b|AaBxb几何意义:表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.|a-b|=,0,,abababbaab几何意义：表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？从“运算”的角度考察绝对值不等式。如：对于实数a,b，可以考察|a|,|b|,|a+b|,|a-b|,|a|+|b|,|a|-|b|等之间的关系。用恰当的方法在数轴上把|a|,|b|,|a+b|表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？xOaba+bxOaba+bxOaba+bxOaba+bab>0ab<0(1)当ab>0时,xOaba+bxOaba+ba>0,b>0a<0,b<0由图可得:|a+b|=|a|+|b|(2)当ab<0时xOaba+bxOaba+ba>0,b<0a<0,b>0|a+b|<|a|+|b||a+b|<|a|+|b|(3)如果ab=0,则a=0或b=0易得:|a+b|=|a|+|b|综上所述,可得:定理1:如果a,b是实数,则|a+b||a|+|b|当且仅当ab0时,等号成立.如果把定理1中的实数a,b分别换为向量,能得出什么结果?,ab当向量共线呢?abxyOabab在不等式|a+b||a|+|b|中,当向量不共线时,则由向量加法的三角形法则,ab用向量分别替换实数a,b,ab向量构成三角形,abab故可得向量形式的不等式:|a+b|<|a|+|b|故该定理的几何意义为:三角形的两边之和大于第三边.绝对值三角不等式绝对值三角不等式:|a+b||a|+|b|证明:当ab0时,ab=|ab||a+b|2ab222aabb22||2||||aabb2||||abab当ab<0时,ab=-|ab||a+b|2ab222aabb22||2||||aabb222||aabb22||2||||aabb2||||ab||||ab故|a+b||a|+|b|当且仅当ab0时,等号成立.同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|,|a|+|b|与|a-b|,|a|-|b|与|a-b|等之间的关系?如:如果a,b是实数,则|a|-|b||a-b||a|+|b|再如:如果a,b,c是实数,则|a-c||a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.定理2:如果a,b,c是实数,则|a-c||a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.分析:由于a-c,a-b与b-c都是实数,且a-c=(a-b)+(b-c)证明:根据定理1,有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)||a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.则可使用定理1的结论进行证明.xabcABCxbcaABCxacbABC在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,(1)当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|(2)当点B在点A,C之外时,|a-c|<|a-b|+|b-c|例:已知>0|x-a|<|y-b|<,求证:|2x+3y-2a-3b|<5证明:|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)||2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2+3=5故|2x+3y-2a-3b|<5例:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?分析:如果生活区建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km.那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题转化为数学问题:当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.解:设生活区应该建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我们先来考察它的图像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x020S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x||(x-10)+(20-x)|=10当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号.又解不等式:(x-10)(20-x)0得:10x20故当10x20时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)