高三数学函数的周期性与对称性 人教版 课件VIP免费

函数的周期性与对称性周期性的几个结论•若f（x+a）＝f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，︱b－a︱是它的一个周期；•若f（x+a）＝－f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期；•若f（x+a）＝（a≠0，且f（x）≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期.1fx对称性的几个结论•若f（x+a）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝对称，特别地，若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；•若有f（a+x）＝－f（b－x），则函数f（x）的图象关于点（，0）中心对称，特别地，若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.2ab2ab若f（x）的图象有两条对称轴x＝a和x＝b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱是它的一个周期；若f（x）图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱为它的一个周期；若f（x）的图象有一对称轴x＝a和一个对称中心（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且4︱b－a︱是它的一个周期.【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.其中正确的命题序号是.【解析】①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数③是错误的，在第一个函数中，用－x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f（t)与y＝f（－t）的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.【例2】(2005年·福建)f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是()A．2B．3C．4D．5【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，∴在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.【例3】已知函数f（x）的定义域为{x︱x∈R且x≠1}，f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是（）A．［，+∞）B．（1，］C．［，+∞）D．（1，］54547474【解析】由f（x+1）为奇函数得f（－x+1）＝－f（x+1），∴f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又由已知可画出f（x）在（－∞，1）上的图象，再根据中心对称画出f（x）在（1，+∞）上的图象，由图象易知，f（x）在［，+∞）上单调递减，故应选C.74【例4】(2005年·广东)对函数f（x），当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在闭区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.【解】（1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2－x）＝f（2+x），得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数.故函数y＝f（x）是非奇非偶函数；(2)由f（4－x）＝f（14－x）f（x）＝f（x+10），从而知y＝f（x）的周期是10.又f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，故f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个解，从而可知函数y＝f（x）在［0，2005］上有402个解，在上［－2005，0］有400个解，所以函数y＝f（x）在［－2005，2005］上有802个解.