知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练第25讲立体几何与空间向量(理)知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理1.点、线、面空间位置关系设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α,β的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)线面平行:l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直:l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行:α∥β⇔u∥v⇔u=kv⇔a2=ka3,b2=kb3,c2=kc3.(4)面面垂直:α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理2.空间角(1)异面直线所成的角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则a与b的夹角
l1与l2所成的角θ范围0<<π0<θ≤π2关系cos=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|cosθ=|cos|=|𝑎·𝑏||𝑎||𝑏|(2)直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos|=|𝑎·𝑛||𝑎||𝑛|.范围:0<θ≤π2.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理(3)二面角如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ,𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ>.如图②③,n1,n2分别是二面角α,β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型一利用空间向量证明空间位置关系【例1】如图所示,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)求证:平面PAD⊥平面PDC.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【证明】以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以Eቀ12,1,12ቁ,Fቀ0,1,12ቁ,𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ=ቀ-12,0,0ቁ,𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ=(0,0,1),𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ=(0,2,0),𝐷𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(1,0,0),𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(1,0,0).(1)因为𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ=-12𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ,所以𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ∥𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ,即EF∥AB.又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式(2)因为𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ·𝐷𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(0,0,1)·(1,0,0)=0,𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ·𝐷𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(0,2,0)·(1,0,0)=0,所以𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ⊥𝐷𝐶ሬሬሬሬሬԦ,𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ⊥𝐷𝐶ሬሬሬሬሬԦ,即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.【规律方法】向量法证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系;(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量,再研究平行、垂直关系;(4)根据运算结果解释相关问题.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式变式训练一在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.证明:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),所以𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(a,0,0),𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ=(0,2,2),𝐵1𝐷ሬሬሬሬሬሬሬԦ=(0,2,-2),𝐵1𝐷ሬሬሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ=0,𝐵1𝐷ሬሬሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ=0+4-4=0,所以𝐵1𝐷ሬሬሬሬሬሬሬԦ⊥𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ,𝐵1𝐷ሬሬሬሬሬሬሬԦ⊥𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ,即B1D⊥BA,B1D⊥BD.又BA∩BD=B,BA⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,因此B1D⊥平面ABD.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式(2)由(1)知,E(0,0,3),Gቀ𝑎2,1,4ቁ,F(0,1,4),则𝐸𝐺ሬሬሬሬሬԦ=ቀ𝑎2,1,1ቁ,𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ=(0,1,1),𝐵1𝐷ሬሬሬሬሬሬሬԦ·𝐸𝐺ሬሬሬሬሬԦ=0+2-2=0,𝐵1𝐷ሬሬሬሬሬሬሬԦ·𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ=0+2-2=0,所以𝐵1...
