高中数学 第十二课时：特征值与特征向量课件 苏教版选修4-2 课件VIP免费

问题情境：1,A�情境、求向量在矩阵对应变换作用下的向量.1010,,;10102�A=1011002�解：A=101001102A�012问题1、通过矩阵A对应的变换作用下的新向量与原向量有怎样的关系？01102A=,A=��向量，变换后向量，分别与，共线，即。30,;03xy�A=A�情境2、求向量在矩阵对应变换作用下的向量.3003xy�解：A=33xy3xy问题2、通过矩阵A对应的变换作用下的新向量与原向量有怎样的关系？3A=.xxyy�向量变换后向量共线，即探究：通过上述两个情境及问题，我们发现，有些向量在某个矩阵A对应变换的作用下得到的对应向量与原向量共线.A=�即这个特殊的矩阵A,及常数λ就是我们今天要研究的内容.建构数学：说明：A1�(1)由知，特征值，特征向量是把二阶矩阵(22矩阵)转化为一个向量(2矩阵)；(2)特征值，特征向量的几何意义：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后,保持在同一直线上.当0时，方向不变;当0时，方向相反;特别0时,特征向量就被变为零向量;(3)特征向量要求是.非零向量,=.AAAA��设是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量A=abxcdy�设是二阶矩阵的一个特征值，它的一个特征向量为，A=,xxyy则①xy即满足二元一次方程组)0,*()0.axbycxdy（D�xy由特征向量的定义可知0，因此，x,y不全为0，此时，=0,D=0.D=0,因此,若要上述二元一次方程组有不全为0的解,则必有即0abcd2A=R()()A.abcdabfadadbccd设是一个二阶矩阵，，我们把行列式称为是特征多项式AA()0.f从上面的分析已经表明，如果是二阶矩阵的特征值，那么一定是二阶矩阵的特征多项式的一个根，即00)0,()0axbycxdyxy（此时，将带入二元一次方程组，就可以得到，一组非零解，00A.xy于是非零解即为的属于的一个特征向量说明：上述分析是给我们一个求特征值和特征向量的思路.A=()()0abcdabffcd(1)求矩阵的特征值:只要代入关于的特征多项式，有几解就有几个特征值.00)0,()0Aaxbycxdyxy（(2)求所对应的特征值：只要将代入二元一次方程组，求出的一组非零解，就是矩阵的属于的一个特征向量.数学应用：101A=.01例、求矩阵的特征值和特征向量A解：矩阵的特征多项式为：10()=(1)(+1)0+1f12()0A1f令，得的特征值，=-111)00,10(1)0xyxy（将代入二元一次方程组解得，0,xRy为任意非零实数，不妨记x=k,k，且k0.1A10矩阵的属于特征值的一个特征向量为，11)00,10(1)0xyxy（将代入二元一次方程组解得，x0,Ry为任意非零实数，不妨记y=m,m，且m0.0A11矩阵的属于特征值-的一个特征向量为，42421A=2B=.3131EX、求矩阵的特征值和特征向量：（），（）点评：()0f(1)求矩阵的特征值、特征向量问题，一般是先求出关于的特征多项式，看方程是否有解，若有解，则求出解，分别代入原方程，求出对应的特征向量；若无解，则判明其不存在特征值和特征向量.(2)tt��如果向量是属于的一个特征向量，将它乘以一个非零常数t后所得的新向量与向量共线，那么也是属于的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量.A(3)从几何变换的角度不难直接观察出例1中矩阵的特征向量.A由定义可知，...