学习必备欢迎下载２０１２年全国高中数学联赛试题(A卷)word一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设P是函数2yxx（0x）的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为,AB，则PAPB的值是．解:方法1:设0002(,),pxxx则直线PA的方程为0002()(),yxxxx即0022.yxxx由00000011(,).22yxAxxyxxxxx又002(0,),Bxx所以00011(,),(,0).PAPBxxx故001()1.PAPBxx２．设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足3coscos5aBbAc，则tantanAB的值是.解:由题设及余弦定理得222223225cabbcaabccabc,即22235abc故222222222222228tansincos2542tansincos52acbacAABcabacbcaBBAbcacbbc.３．设,,[0,1]xyz，则||||||Mxyyzzx的最大值是.解:不妨设01,xyz则.Myxzyzx因为2[()()]2().yxzyyxzyzx所以2()(21)21.Mzxzxzx当且仅当1,0,1,2yxzyxzy时上式等号同时成立.学习必备欢迎下载故max21.M4.抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线为ｌ，,AB是抛物线上的两个动点，且满足3AFB．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，则||||MNAB的最大值是.解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AFBFMN在AFB中,由余弦定理得2222cos3ABAFBFAFBF2()3AFBFAFBF22()3()2AFBFAFBF22().2AFBFMN当且仅当AFBF时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球．若正三棱锥PABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是．解:如图.连结PQ,则PQ平面ABC,垂足H为正ABC的中心,且PQ过球心O,连结CH并延长交AB于点M,则M为AB的中点,且CMAB,易知,PMHQMH分别为正三棱锥,PABCQABC的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH,从而12PHMHAH,因为90,,PAQAHPQ所以2,APPHQH即21.2AHAHQH所以24.QHAHMH,故tan4QHQMHMH6.设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxx．若对任意的[,2]xaa，不等式学习必备欢迎下载()2()fxafx恒成立，则实数a的取值范围是．解:由题设知22(0)()(0)xxfxxx,则2()(2).fxfx因此,原不等式等价于()(2).fxafx因为()fx在R上是增函数,所以2,xax即(21).ax又[,2],xaa所以当2xa时,(21)x取得最大值(21)(2).a因此,(21)(2),aa解得2.a故a的取值范围是[2,).７．满足11sin43n的所有正整数n的和是．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x时,3sin,xxx由此得131sin,sin,1313412124131sin,sin.10103993所以11sinsinsinsinsin.13412111039故满足11sin43n的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,ABCD四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）解:用kP表示第k周用A种密码的概率,则第k周末用A种密码的概率为1kP.于是,有11(1),3kkPPkN,即1111()434kkPP由11P知，14kP是首项为34，公比为13的等比数列。所以1131()443kkP，即1311()434kkP，故761243P二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．９．（本小题满分１６分）学习必备欢迎下载已知函数131()sincos2,,022fxaxxaaRaa（１）若对任意xR，都有()0fx，求a的取值范围；（２）若2a，且存在xR，使得()0fx，求a的取值范围．解:(1)23()sinsin.fxxaxaa令sin(11),txt则23()4gttataa分对任意xR,()0fx恒成立的充要条件是3(1)10(0,1]83(1)120gaagaa分(2)因为2,a所以1.2a所以min3()(1)112gtga分因此min3()1.fxa于是,存在xR,使得()0fx的充要条件是31003.aa故a的取值范围是[2,3].16分１０．（本小题满分２０分）已知数列na的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有23331212()nnaaaaaa（１）当3n时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,aaa;（２）是否存在满足条件的无穷数列{}na，使得20132012?a若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．解:(1)当1n时,2311aa,由10a得11a.当2n时,2322(1)1aa,由20a得22a或21a⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分当3n时,2332323(1)1.aaaa学习必备欢迎下载若22a得33a或32a;若21a得31a;综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分(2)...
