第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.1向量的数量积的概念8.1.2向量的数量积的运算律学习目标1.掌握平面向量数量积的几何意义.2.掌握平面向量数量积的性质及运算律.重点：平面向量数量积的定义及应用.难点：平面向量数量积运算律的理解及应用.知识梳理一、两个向量的夹角给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称［0，π］内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.例如，下图中向量a与b的夹角为，即〈a，b〉＝.π4类似地，上图中，向量a与c的夹角为，即〈a，c〉＝；向量a与d的夹角为0，即〈a，d〉＝0；向量a与e的夹角为π，即〈a，e〉＝.π根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且0≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝〈b，a〉.当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.点拨：向量a，b的夹角〈a，b〉与a，b位置关系的对应〈a，b〉的大小a，b的位置关系〈a，b〉＝0°a与b同向0°<〈a，b〉<90°a与b的夹角为锐角〈a，b〉＝90°a与b垂直，记作a⊥b90°<〈a，b〉<180°a与b的夹角为钝角〈a，b〉＝180°a与b反向二、向量数量积的定义1.定义一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同.注意：中的“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略，也不能写成.观察两个非零向量a与b的数量积的定义可知，a·b的符号由cos〈a，b〉决定，从而也就是由〈a，b〉的大小决定.例如，右图中，a·b>0，a·c＝0，a·d<0.这就是说，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数.2.性质如果都是非零向量，依照定义可以得出向量的数量积有如下性质.（1）；（，即＝.说明：（1）中，当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝-|a||b|.（2）a·a可以简写为a2，因此上述性质（2）也可改写为另外，我们还能得到数量积的如下性质.（3）a，b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即.（4）如果a，b都是非零向量，则cos〈a，b〉＝.点拨1.性质（1）中，当且仅当时，等号成立，此性质可用来解决不等式的相关问题.2.性质（2）用数量积来求向量的模.实现了实数运算与向量运算的相互转化.3.性质（3）可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系.4.性质（4）是数量积定义的变形，又称为夹角公式，建立了向量与三角函数的联系.三、向量的投影与向量数量积的几何意义1.向量投影的概念如图所示，设非零向量＝a，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线上的投影向量或投影.类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为，则a在直线上的投影称为a在向量b上的投影.下图中，向量a在向量b上的投影为.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反.思考：如果a，b都是非零向量，且a在b上的投影为，那么向量的方向、长度与〈a，b〉有什么关联？如图（1）,当〈a，b〉<时，的方向与b的方向相同，而且||＝|a|cos〈a，b〉；图（1）如图（2）,当〈a，b〉＝时，为零向量，即||＝0；如图（3）,当〈a，b〉>时，的方向与b的方向相反，而且||＝|a|cos〈a，b〉.图（3）图（2）2.向量投影的数量一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.|a|cos〈a，b〉的符号由cos〈a，b〉确定，取决于〈a，b〉的取值范围！3.向量数量积的几何意义因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝（|a|cos〈a，b〉）|b|，所以两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.特别地，当e为单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝|a|cos〈a，e〉，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.点拨：数量积等于的长度与在方向上的投影的数量||cosθ的乘积，也等于...
