主页主页一轮复习讲义一轮复习讲义立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直主页主页1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP→＝ta，则此向量方程叫做直线l的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→，叫做空间直线的向量参数方程．忆一忆知识要点要点梳理主页主页2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔.忆一忆知识要点v1∥v2xv1＋yv2存在两个实数x，y，使v＝v⊥uu1∥u2要点梳理主页主页3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔⇔.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔⇔.忆一忆知识要点v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0要点梳理主页主页[难点正本疑点清源]1．直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量，它有无数多个，平面的法向量也有无数个．2．利用空间向量解决立体几何中的平行问题(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内．②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内．③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．同时要注意强调直线不在平面内．主页主页例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.利用空间向量证明平行问题利用空间向量证明平行问题证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，主页主页设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，又 MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，主页主页又 MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.用向量证明线面平行的方法：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；(4)本题易错点为：只证明MN∥A1D，而忽视MN⊄平面A1BD.探究提高主页主页如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.变式训练1证明 平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)，主页主页设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.∴PB→＝2FE→＋2FG→，又 FE→与FG→不共线，∴PB→、FE→与FG→共面． PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.主页主页例2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.利用空间向量证明垂直问题利用空间向量证明垂...
