4.4幂函数第四章指数函数、对数函数与幂函数学习目标1.通过实例，了解幂函数的概念.2.结合图像，了解常见幂函数的图像及性质.3.会运用幂函数解决一些简单的问题.重点：幂函数的定义、图像和性质.难点：幂函数图像的位置和形状变化.知识梳理1.幂函数的定义一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.上面提到的函数y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数.•幂函数解析式的特点①幂的系数为1；②幂的底数为自变量，指数为常数；③项数只有一项.一次函数y＝kx+b（k≠0）中，只有b＝0且k＝1时才是幂函数.二次函数中，只有y＝x2是幂函数.•幂函数与指数函数的区别①幂函数：y＝xα，自变量为幂的底数，指数α是常数，对α没有要求，定义域受α限制.②指数函数：y＝ax，底数a为常数，a>0且a≠1，指数为自变量，定义域不受a的限制.2.幂函数y＝12x的性质由于y＝12x＝x，由此不难知道，函数y＝12x的性质有：（1）定义域是；（2）值域是；（3）奇偶性是；（4）单调性是.根据以上信息可知，函数y＝12x的图像上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点可作出其图像，如图所示.3.函数y＝x3的性质与图像：（1）定义域是；（2）值域是；（3）奇偶性是；（4）单调性是；（5）图中已经作出了函数y＝x-1，y＝x，y＝x2的图像，在其中作出函数y＝x3的图像.4.幂函数的性质幂函数y＝，随着α的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0，+∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点（1，1）.（2）如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间［0，+∞）上是增函数.（3）如果α<0，则幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.5.幂函数y＝xα的图像的类型α＝qp，p，q∈Z，p·q≠0，|p|与|q|互质α的取值范围α<00<α<1α>1p和q都是奇数则为奇函数举例：y＝35x举例：y＝35x举例：y＝53xp是奇数，q是偶数则为偶函数举例：y＝45x举例：y＝45x举例：y＝65xp是偶数，q是奇数则为非奇非偶函数举例：y＝34x举例：y＝34x举例：y＝54x6.幂函数y＝xα的图像在第一象限的分布特点如图.题型一幂函数的概念问题常考题型例1.［2019·江苏淮安高一期末］已知幂函数y＝f（x）的图像过点12,22，则f（4）的值为（）A.14B.2C.4D.116【解题提示】根据幂函数的定义和待定系数法，求出幂函数的表达式，即可求值.【解析】设幂函数为f（x）＝xα， y＝f（x）的图像过点12,22，∴12＝22，∴α＝12，∴f（x）＝12x，∴f（4）＝124＝4＝2.故选B.【答案】B训练题1.（1）已知y＝（m2+2m-2）211mx+2n-3是幂函数，则m=，N=。【归纳总结】（1）幂函数的解析式只有一个指数决定，因此求解析式只需函数图象上一个点的坐标即可.（2）幂函数的求值只需代入自变量的值即可求得.（3）幂函数的定义域，只需要使函数的解析式有意义即可。（2）下列六个函数：y＝53x，y＝34x，y＝13x，y＝23x，y＝x-2，y=x2，定义域为R的函数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个题型二幂函数的图像及其应用例2［2019·湖南衡阳高一期末］下列命题正确的是（）A.幂函数的图像都经过（0，0），（1，1）两点B.当n＝0时，函数y＝xn的图像是一条直线C.如果两个幂函数的图像有三个交点，那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数，则图像一定经过点（-1，1）【解析】对于A，幂函数的图像都经过点（1，1），当y＝xn中n≤0时，不过（0，0）点，故A不正确；对于B，当n＝0时，幂函数y＝xn的图像是一条直线y＝1，除去（0，1）点，故B不正确；对于C，当两个幂函数的图像有三个交点时，两函数不一定相同，如y＝x与y＝x3的图象有三个交点，但这两个函数不相同，故C不正确；对于D，因为幂函数的图像都经过点（1，1），所以幂函数若为偶函数，其图像一定经过点（-1，1），故D正确.故选D.【答案】D【归纳总结】幂函数y＝xα在第一象限内的图像如图，其他象限的图像可由幂函数的定义域或奇偶性确定.【训练题2】［2019·哈尔滨...
