第三节抛物线知识自主·梳理最新考纲掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．高考热点以客观题的形式考查抛物线的定义、标准方程、几何性质1.抛物线的定义．(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．(2)抛物线定义的集合表示：P＝{M||MF|＝d}，其中d为．2．圆锥曲线的统一定义．圆锥曲线的统一定义用集合表示为：P＝{M|＝e，e＞0}，(1)当时，曲线为椭圆；(2)当时，曲线为双曲线；(3)当时，曲线为抛物线．相等焦点准线点M到准线的距离0＜e＜1e＞1e＝13．抛物线的标准方程及几何性质．(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标是，它的准线方程是，它的开口方向．(2)抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点坐标是，它的准线方程是，它的开口方向．(3)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点坐标是，它的开口方向．(4)抛物线x2＝－2py(p＞0)的焦点坐标是，它的准线方程是，它的开口方向．向右向左向上向下4．有关抛物线的常用结论．(1)在抛物线y2＝2px(p＞0)中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的，它的长为.(2)抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点P(x0，y0)，F为其焦点，则焦半径|PF|＝.(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦AB的两个端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝，且有x1x2＝，y1y2＝.(4)若过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦AB的倾斜角为α，则|AB|＝.通径2px1＋x2＋p－p21．关于抛物线定义．要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．如动点P到定点F(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，点P的轨迹是抛物线，而动点P到定点F(－1,0)和定直线x＝－1的距离相等，点P的轨迹即是x轴．2．关于抛物线的标准方程．由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．(3)焦点的非零坐标是一次项系数的.3．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．方法规律·归纳例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．[分析]由抛物线定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题，再利用“两点之间线段最短”求解．题型一抛物线定义的应用思维提示①准确理解定义②灵活应用定义[解]将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6. 6＞2.∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．[规律总结]利用抛物线的定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转化．例如若点P0(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，则该点到抛物线的焦点F的距离|PF|＝x0＋(焦半径公式)，这一公式的直接应用为求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便．在求过焦点的一弦长时，经常将其转化为两端点到准线的距离之和，再由根与系数的关系求解．有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解.备考例题1设P是曲线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．(2)如图(b)，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，(a)(b)此时，|P1Q|＝|P1F|那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即最小值为4.例2已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上的一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程．[分析]由题意知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，但不能确定开口方向，所以应先讨论确定抛物线的开口方向，设出标准方程，再根据A点到焦点的距离为5，转化为A点到准线的距离，求出p的值，代回标准方程得所求方程．...
