2.3抛物线•1．知识与技能•通过本节学习，了解抛物线的定义、标准方程，能根据条件确定抛物线的标准方程，并注意标准方程的形式，掌握四种形式的特点，会利用待定系数法求抛物线的标准方程．•2．过程与方法•掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法，从而培养学生观察、类比、分析、计算的能力．•3．情感、态度与价值观•通过本节的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想，提高学生分析问题和解决问题的能力．•本节重点：抛物线的定义及标准方程．•本节难点：建立标准方程时坐标系的选取．•1．对于抛物线定义的理解，可以通过以下几种途径：•通过多媒体设备展示与抛物线有关的实物模型；也可让学生举出生活中与抛物线有关的物体和现象，加强知识与实际的联系，增强学生的学习兴趣．•2．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则动点的轨迹是一条直线．•3．由抛物线的定义推导出它的标准方程时，要考虑怎样选择坐标系．由定义可知直线KF是曲线的对称轴，所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项．因为抛物线KF的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单．•1．抛物线的定义•平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的．距离相等焦点准线图形标准方程焦点坐标准线方程(p>0)(p>0)y2＝2pxy2＝－2px图形标准方程焦点坐标准线方程(p>0)(p>0)x2＝2pyx2＝－2py•[例1]判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线：•(1)过点P(0,3)且与直线y＋3＝0相切的动圆的圆心M的轨迹；•(2)到点A(0,2)的距离比到直线ly＝－4的距离小2的动点P的轨迹．•[解析](1)依题意，圆心M到点P的距离等于M到直线y＝－3的距离，∴动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点，以直线y＝－3为准线的抛物线．•(2)依题意，动点P到点A(0,2)的距离与到直线ly＝－2的距离相等，∴点P的轨迹是以点A为焦点，以直线y＝－2为准线的抛物线．•已知点B(4,0)，过y轴上的一点A作直线l⊥y轴，求l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹．•[解析]依题意，|PA|＝|PB|，且|PA|为点P到y轴的距离，∴点P到点B的距离与到y轴的距离相等，其轨迹是以点B为焦点，以y轴为准线的抛物线.[解析] 点(－3,2)在第二象限，∴抛物线开口向左或向上．设所求抛物线为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把点(－3,2)代入，得p1＝23，p2＝94.∴所求抛物线方程为y2＝－43x或x2＝92y.•[例2]求过点(－3,2)的抛物线的标准方程．•[说明]判断抛物线的开口方向，用待定系数法求之．•[例3]已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.•(1)求抛物线方程和m值．•(2)求抛物线的焦点和准线方程．•[解析](1)设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)则焦点坐标F(－p2，0)，准线方程x＝p2.由抛物线定义知，点M到焦点距离等于5，即点M到准线距离等于5，则3＋p2＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x，又点M(－3，m)在抛物线上，∴m2＝24，∴m＝±26，∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26.(2) p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程是x＝2.•[说明]1.求抛物线方程的方法．•(1)定义法，直接利用定义求解．•(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．2．求抛物线焦点、准线方程的方法．首先要将抛物线方程化成标准形式，求出p后根据抛物线的图象写出焦点和准线的方程，注意垂线与x轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的14.•根据下列条件求抛物线的标准方程：•(1)经过点P(4，－2)；•(2)焦点在直线3x－4y－12＝0上．•[解析](1) 点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，标准方程可设为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．•将点P(4，－2)代入y2＝2px，...
