专题三数列、推理与证明第1讲等差数列、等比数列感悟高考明确考向(2010·辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.解析设等差数列公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，①S6＝6a1＋6×52d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.②联立①②两式得a1＝－1，d＝2，故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.15考题分析本题考查了等差数列的概念、通项公式和前n项和公式．考查了考生解决问题的基本能力．解决本题的基本思路为基本量法，体现了方程的思想．易错提醒(1)忽视了解决问题的基本方法，即基本量法．(2)前n项和公式和通项公式掌握不准确．(3)构建不出方程组，从而无法求解．主干知识梳理1．an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an－an－1＝常数(n≥2)anan－1＝常数(n≥2)通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法:2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列(5){an}为等比数列，an>0⇔{logaan}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列(4){an}为等差数列⇔{}为等比数列(0
0，递增；d<0，递减)；(3)等差数列的性质：设m、n、p、q为自然数，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.变式训练1(2009·山东)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析设等差数列的公差为d，首项为a1，则a3＝a1＋2d＝7，a5－a2＝3d＝6.∴d＝2，a1＝3.∴a6＝a1＋5d＝13.13题型二等比数列的有关问题例2已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，a1＋2a2＝0，S4－S2＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anSn}的前n项和．思维启迪（1）设基本量公比q→列方程→求q、a1→用通项公式；（2）求{anSn}的通项→用分组法求和．解(1)设等比数列{an}的公比是q，因为a1＋2a2＝0，且a1≠0，所以q＝a2a1＝－12.因为S4－S2＝18，所以a1(1－q4)1－q－a1(1＋q)＝18，将q＝－12代入上式，解得a1＝1，所以an＝a1qn－1＝(－12)n－1(n∈N*)．(2)由于an＝(－12)n－1，Sn＝23[1－(－12)n]，∴anSn＝23[(－12)n－1＋(12)2n－1]，∴a1S1＋a2S2＋a3S3＋…＋anSn＝23[(－12)0＋(12)1＋(－12)1＋(12)3＋(－12)2＋(12)5＋…＋(－12)n－1＋(12)2n－1]＝23[(－12)0＋(－12)1＋(－12)2＋…＋(－12)n－1＋(12)1＋(12)3＋…＋(12)2n－1]＝89－49·(－12)n－49·(14)n.故a1S1＋a2S2＋…...
