高三数学大一轮复习 2.3 函数的奇偶性课件VIP免费

§2.3函数的奇偶性基础知识自主学习要点梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性.(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数，一个偶函数的积是.相同相反奇函数偶函数奇函数3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小[难点正本疑点清源]1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．基础自测1．下列函数中，所有奇函数的序号是________．(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝x2＋1x；(4)f(x)＝x3＋1.解析由奇偶函数的定义知：(1)为偶函数；(2)(3)为奇函数；(4)既不是偶函数，也不是奇函数．(2)(3)2．若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.解析f(－x)＝12－x－1＋a＝2x1－2x＋a，f(－x)＝－f(x)⇒2x1－2x＋a＝－12x－1＋a⇒2a＝11－2x－2x1－2x＝1，故a＝12.点评不少同学想到了f(0)＝0.本题行吗？注意f(x)在x＝0处无意义，所以f(0)＝0是不成立的．123．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________________________．解析画草图，由f(x)为奇函数的性质知：f(x)>0的x的取值范围：(－1,0)∪(1，＋∞)．(－1,0)∪(1，＋∞)4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13＋0＝13.B5．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)等于()A．－2B．2C．－98D．98解析 f(x)的周期T＝4，∴f(2011)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.A题型分类深度剖析题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．解(1)由3－x2≥0x2－3≥0，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1－x1＋x≥01＋x≠0，得－1