第二节排列组合及其应用知识自主·梳理最新考纲1.理解排列的意义，掌握排列数公式，并能用它解决一些简单的应用问题；2．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．高考热点排列组合应用题，特别是含有受限制的元素(或位置)的排列组合问题，通常考查下列背景的客观题：数字问题、人和物的搭配问题、几何问题、产品抽样问题、集合问题、分配问题等.1.排列的定义．排列：从n个元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数．排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．不同顺序排列3．阶乘．阶乘：正整数1到n的叫做n的阶乘，用符号表示．规定0！＝.连乘积n！15．组合的定义．组合：从n个元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．6．组合数．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．不同并成一组个数1．基本内容(1)公式成立的条件是：m≤n，n∈N*，m∈N.(2)公式右边是n个数的连乘积形式，第一个因数为n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数为(n－m＋1)，共m个因数相乘．(3)排列数公式有两种形式：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．重点辨析(4)由排列数公式可得到两个派生公式：Amn＝nAm－1n－1和n·n！＝(n＋1)！－n！，要注意灵活运用．2．解决有关排列应用题，要注意防止发生以下错误：(1)没有仔细审题，盲目套用公式和方法(2)不能用公式或常用方法解答时，不会用一一列举的方法来解决．3．求解排列组合应用题，要仔细读题、用心理解、合理转化、寻找解题的最佳切入点，切忌概念模糊、审题不清、方法不明、“加”“乘”颠倒、有序无序混淆、公式乱用，还有讨论要做到不重不漏．(1)正确区分一个问题是排列问题还是组合问题，防止将组合问题错解成排列问题．(2)对有限制条件的组合问题，要进行合理的分类或分步，防止标准不统一导致错解.方法规律·归纳题型一排列数公式、组合数公式及性质应用思维提示①排列数公式②组合数公式及性质例1解下列方程：(1)3A3x＝2A2x＋1＋6A2x；(2)Cx＋1x＋3＝Cx－1x＋1＋Cxx＋1＋Cx－2x＋2.[分析](1)根据排列的意义和排列数公式求解；(2)利用组合数的性质．[解](1)3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)． x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍去)，∴x＝5.(2)由组合数的性质可得Cx－1x＋1＋Cxx＋1＋Cx－2x＋2＝C2x＋1＋C1x＋1＋C4x＋2＝C2x＋2＋C4x＋2，又Cx＋1x＋3＝C2x＋3，∴C2x＋3＝C2x＋2＋C4x＋2，即C1x＋2＋C2x＋2＝C2x＋2＋C4x＋2.∴C1x＋2＝C4x＋2.∴5＝x＋2，x＝3.经检验知：x＝3.[规律总结]排列数与组合数的计算问题要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用．含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解．利用这一点可以根据题目的条件将方程及时化简，并对结果进行检验.备选例题1(1)若Ayx＝272Cyx＝136，则x＝________，y＝________.答案：172(2)解下列不等式：①Ax9＞6Ax－29；②1C3n－1C4n＜2C5n.解：①原不等式可变形为9！(9－x)！＞6·9！(9－x＋2)！，即(11－x)(10－x)＞6，整理得(x－8)(x－13)＞0，解得x＜8或x＞13.又x≤9x－2≥0x－2≤9，∴2≤x＜8且x∈N，即x＝2,3,4,5,6,7.∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}．②原不等式可变形为6n(n－1)(n－2)－24n(n－1)(n－2)(n－3)＜240n(n－1)(n－2)(n－3)(n－4)，化简得n2－11n－12＜0，解得－1＜n＜12.又 n∈N*，且n≥5，∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.题型二简单的排列应用题思维提示①排列数计算②排列应用题的方法例2用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数．[分析]有大小要求的排数问题要注...
