专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题(中考压轴解析)VIP专享VIP免费

专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题1：已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况例题1、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2 抛物线过原点，∴1)20(a02∴41a.抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD\s\up2()∥OB,由1)2x(4102得4x,0x21,B(4,0),OB∴＝4.D∴点的横坐标为6将x＝6代入1)2x(41y2,得y＝－3,D(6,∴－3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,AOB∠＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP的解析式为x21y由xx41x212,得6x,0x21∴P(6,－3)过P作PEx⊥轴,在RtBEP△中,BE＝2,PE＝3,PB∴＝13≠4.PB≠OB,BOP≠BPO,PBO∴∴∠∠∴△与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.例2.如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作APCB∥交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．第1页共4页图1OAByxOAByx图2EA'OABPyx图2COABDyx图1专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令0y，得210x解得1x令0x，得1y∴A(1,0)B(1,0)C(0,1)（2） OA=OB=OC=1∴BAC=ACO=BCO=45APCB ∥，∴PAB=45过点P作PEx轴于E，则APE为等腰直角三角形，令OE=a，则PE=1aP∴(,1)aa 点P在抛物线21yx上∴211aa解得12a，21a（不合题意，舍去）∴PE=3∴四边形ACBP的面积S=12AB•OC+12AB•PE=112123422(3)．假设存在 PAB=BAC=45PA∴ACMG x轴于点G，∴MGA=PAC=90在RtAOC△中，OA=OC=1AC=∴2在RtPAE△中，AE=PE=3AP=∴32设M点的横坐标为m，则M2(,1)mm①点M在y轴左侧时，则1m()ⅰ当AMG∽PCA时，有AGPA=MGCAAG= 1m，MG=21m即211322mm解得11m（舍去）223m（舍去）()ⅱ当MAG∽PCA时有AGCA=MGPA即211232mm解得：1m（舍去）22mM∴(2,3)②点M在y轴右侧时，则1m第2页共4页GM图3CByPAoxGM图2CByPAox专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题()ⅰ当AMG∽PCA时有AGPA=MGCAAG= 1m，MG=21m∴211322mm解得11m（舍去）243mM∴47(,)39()ⅱ当MAG∽PCA时有AGCA=MGPA即211232mm解得：11m（舍去）24m∴M(4,15)∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为(2,3)，47(,)39，(4,15)例3、如图，抛物线经过三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．将，代入，得解得此抛物线的解析式为．（3分）（2）存在．（4分）如图，设点的横坐标为，第3...