1.长方体的外接球模型1.1 长方体的外接球丫设长方体 ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为I 则其外接球的直径就是\AC\,设外接圆的半径为 R,则 4 用~a2+b2+c\表面积 S=（孑+肝+c2）ff,体积 K=—（i?2+b2+c2）＞!a2+b2+c2.例 1（2017 年全国卷 IH 文）长方体的长，宽，高分别为3,2,1＞其顶点都在球 O 的球面上*则球 O 的表面积为•解：设球 O 的半径为 7?,则 4R1=12+22+32=14,1・2 长方体的外接球模型对于三棱锥来说，如果满足共顶点的三条棱两两垂直或者有线面垂直和线线垂直，可考虑把三棱锥补成长方体，转化为长方体的外接球问题.4龙2加ABCD选A4龙sQACBB图图2例 2C2010 年辽宁卷）已知 S.A.B.C 是球 O 表面上的点，S/丄平面 ABC*AB 丄 BCSA^AB^IBC 二迈?则球 O 的表面积等于（：）S/丄 AB.SA 丄刀 C,又如？丄 BC,如图 1,故将三棱锥 S-ABC 补成长方体，如图 2,则三棱锥 S-ABC 的外接球即长方体的外接球，所以(2R}2^ABZ+BC2+SA2=4?球 O 的表面积解，因为站丄平面 ABC,所以DABD4 丄 AB.DA 丄 BC所以球 O 的体积 7DBB图例 3（2008 年浙江卷）如图 3,己知球 O 的面上解：因为 D4 丄平面 ABC、得VL 则球 O 的体积等于图 4 畐中站四点 A.B.C.D.DA 丄平面 ABC、AB 丄肚9―咒2又 48 丄 BC,所以可把三棱锥 D-ABC 补成长方体,如图 4 三棱锥 D^ABC 的外接球即长方体的外接球，所以 4 用=3+3+3=久/?=一，7且平解：因D.2兀"T"A.如BD=忑,ED 丄 CQ•将其沿对角线〃D 折成四面体ABCD,使平面力 BD 丄平面 BCD,如图 6•若四面体力BCQ 的顶点在同一球面上，则该球的体积为()所以 CQ 丄平面 ABD,由力 B 丄/1Q,故可把三棱锥 C-ABD 放到正方体中，如图几所以4A2=3xl2=3,R=亘,2图6所以球的体积 V=-TTRS=7T■选A.表面积 S=47?彷=12^.厂 W（2008 年福建卷）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为巧，则其外接球的表面积是解：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度相等，故可把三棱锥放到正方体中，问题转化为求棱长为命的正方体的外接球的表面积，所以 4R2=4x3=12,-■高中翌宇之旬则S43A22球 0 表面上的不同点站丄平面 ABC2•三棱柱的外接球模2・1 三棱柱的外接厂 k 例 6（2017 年沈阳市质量检测）已知 C 是丄 BCMSBC 二迈,若球 0 的表面积为 4 打，解：设 SA^x,由题意.把三棱锥 S-ABC 放到长方体中，贝'J4/?2=1+2+X2,所以球 0 的表面积-4R—G+X...
