解题方法：“截长补短法”在角的平分线问题中的运用VIP免费

“截长补短法”在角的平分线问题中的运用人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中，BC＞AB，AD=DC，BD 平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因为平角等于 180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E，作 DF⊥BC 于点 F，如图 1-2 BD 平分∠ABC，∴DE=DF，在 Rt△ADE 与 Rt△CDF 中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°例2. 如图 2-1，AD∥BC，点 E 在线段 AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.1 / 5ABCD图 1-1FEDCBA图 1-2求证：CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图 2-2在△FCE 与△BCE 中，∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.又 AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE 与△ADE 中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA， CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.2 / 5ADBCE图 2-1ADBCEF1234图 2-2例3.已 知 ， 如 图 3-1 ， ∠ 1=∠2 ， P 为 BN 上 一 点 ， 且 PD⊥BC 于 点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 3-2 ∠1=∠2，且 PD⊥BC，∴PE=PD，在 Rt△BPE 与 Rt△BPD 中，∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD. AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE 即 DC=BE-AB=AE.在 Rt△APE 与 Rt△CPD 中,∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又 ∠BAP+∠PAE=180°.∴∠BAP+∠BCP=180°3 / 5ABCDP12N图 3-1P12NABCDE图 3-2例4.已知：如图 4-1，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠...