平面与平面垂直的判定 111教学分析 在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.教学目标1.探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.重点难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.例 1 如图 11，ABCD 是菱形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.图 11（1）求证：平面 PBD⊥平面 PAC；（2）求点 A 到平面 PBD 的距离；（3）求二面角 APBD 的余弦值.（1）证明：设 AC 与 BD 交于点 O，连接 PO, 底面 ABCD 是菱形,BDAC.∴⊥PA ⊥底面 ABCD,BD平面 ABCD,∴的 PABD.⊥又 PA∩AC=A,BD∴⊥平面 PAC.又 BD平面 PBD,∴平面 PBD⊥平面 PAC.(2)解：作 AEPO⊥于点 E, 平面 PBD⊥平面 PAC,AE∴⊥平面 PBD.AE∴为点 A 到平面 PBD 的距离.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=,PAO=90°,∠PO= ,AE=∴.∴点 A 到平面 PBD 的距离为.（3）解：作 AFPB⊥于点 F,连接 EF,AE ⊥平面 PBD,AEPB.∴⊥PB∴⊥平面 AEF,PBEF.⊥AFE∴∠为二面角 APBD 的平面角.在 Rt AEF△中,AE=,AF=,sinAFE=∴∠,cosAFE=∠.∴二面角 APBD 的余弦值为.变式训练 如图 12，PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.（1）求证：MN∥平面 PAD；（2）求证：MNCD⊥；（3）若二面角 PDCA=45°，求证：MN⊥平面 PDC. 图 12 图 13证明：如图 13 所示,（1）取 PD 的中点 Q，连接 AQ、NQ,则 QNDC,AMDC,QN∴AM.∴四边形 AMNQ 是平行四边形.MN AQ.∴∥又 MN平面 PAD,AQ平面 PAD,MN∴∥平面 PAD.（2） PA⊥平面 ABCD，∴PACD.⊥又 CDAD,PA∩AD=A,CD⊥∴⊥平面 PAD.又 AQ平面 PAD,CDAQ.∴⊥又 AQ MN,MNCD.∥∴⊥（3）由（2）知，CD⊥平面 PAD,CDAD,CDPD.∴⊥⊥PDA∴∠是二面角 PDCA 的平面角.PDA=45°.∴∠又 PA⊥平面 ABCD,PAAD.AQPD.∴⊥∴⊥又 MN AQ,MNCD.∥∴⊥...
