本章优化总结专题探究精讲章末综合检测本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲数形结合思想通过本章的学习，体会到了“数形结合”的思想方法及其解决几何问题的有效性和普遍性．在解有关圆的问题时，充分利用圆的几何性质，会使问题的解决变得简捷直观．例例 11 已知点 P(x，y)满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0
(1)求yx的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2 的最大值和最小值； (3)求 x－y 的最大值与最小值； (4)若 A(－1,0)，B(1,0)，求|PA|2＋|PB|2 的最大值与最小值． 【分析】 将已知条件中的关系式视为圆的方程，设yx＝k，则 y＝kx 表示直线，照此方法，此题可解． 【解】 将 x2＋y2－6x－4y＋12＝0 配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1，它表示以 C(3,2)为圆心，半径 r＝1 的圆． (1)设yx＝k，得 y＝kx，∴k 表示过原点的直线的斜率，如图(1)所示． 当直线 y＝kx 为圆 C 的切线时，yx取得最值， ∴|3k－2|1＋k2＝1，解得 k＝3± 34
故yx的最大值为3＋ 34，最小值为3－ 34
(2)设 u＝ x2＋y2，则 u 为圆 C 上的点到原点的距离，如图(2)所示，连接 OC 并延长交圆于 A、B 两点，圆心 C(3,2)与原点 O 的距离是|OC|＝ 13
∴|OA|＝ 13－1，|OB|＝ 13＋1
∴u2max＝|OB|2＝( 13＋1)2＝14＋2 13， u2min＝|OA|2＝( 13－1)2＝14－2 13
故 x2＋y2 的最大值为 14＋2 13，最小值为 14－2 13
(3)设 x－y＝m，即 y＝x－m，m 为直线在 y 轴上截距的相反数，如图(3)所示，则当直线 y＝x－m 与圆 C 相切时，x－y 取得最值． |3－2－m|2＝1，∴m＝1
