本章优化总结专题探究精讲章末综合检测本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲数形结合思想通过本章的学习，体会到了“数形结合”的思想方法及其解决几何问题的有效性和普遍性．在解有关圆的问题时，充分利用圆的几何性质，会使问题的解决变得简捷直观．例例 11 已知点 P(x，y)满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2 的最大值和最小值； (3)求 x－y 的最大值与最小值； (4)若 A(－1,0)，B(1,0)，求|PA|2＋|PB|2 的最大值与最小值． 【分析】 将已知条件中的关系式视为圆的方程，设yx＝k，则 y＝kx 表示直线，照此方法，此题可解． 【解】 将 x2＋y2－6x－4y＋12＝0 配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1，它表示以 C(3,2)为圆心，半径 r＝1 的圆． (1)设yx＝k，得 y＝kx，∴k 表示过原点的直线的斜率，如图(1)所示． 当直线 y＝kx 为圆 C 的切线时，yx取得最值， ∴|3k－2|1＋k2＝1，解得 k＝3± 34. 故yx的最大值为3＋ 34，最小值为3－ 34. (2)设 u＝ x2＋y2，则 u 为圆 C 上的点到原点的距离，如图(2)所示，连接 OC 并延长交圆于 A、B 两点，圆心 C(3,2)与原点 O 的距离是|OC|＝ 13. ∴|OA|＝ 13－1，|OB|＝ 13＋1. ∴u2max＝|OB|2＝( 13＋1)2＝14＋2 13， u2min＝|OA|2＝( 13－1)2＝14－2 13. 故 x2＋y2 的最大值为 14＋2 13，最小值为 14－2 13. (3)设 x－y＝m，即 y＝x－m，m 为直线在 y 轴上截距的相反数，如图(3)所示，则当直线 y＝x－m 与圆 C 相切时，x－y 取得最值． |3－2－m|2＝1，∴m＝1± 2. 故 x－y 的最大值为 1＋ 2，最小值为 1－ 2. (4)设|PA|2＋|PB|2＝m2，则有 x2＋y2＝m2－22. P(x，y)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝1 上， ∴m2>2. ∴x2＋y2＝m2－22表示过圆 C 上的点且以原点为圆心，以 m2－22为半径的圆． 由图(4)可知，当圆 x2＋y2＝m2－22与圆 C 相切时， |PA|2＋|PB|2 有最值． 又 |OC|＝ 13，∴m2－22±1＝ 13， 解得 m2＝30±4 13. ∴|PA|2＋|PB|2 的最大值为 30＋4 13，最小值为30－4 13. 【点评】 有些看似是纯代数问题，直接求解不易解决，若挖掘其几何意义，利用数形结合，往往会柳暗花明，使问题轻松获解．分类讨论思想在解决直线的斜率、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系问题时常常用到分类讨论的思想．例例 22 已知一曲线是与两定点 (0...
